吉林省实验中学

2012—2013学年度下学期期末考试

高一数学试题

命题人：迟禹才、赵晓玲、李金龙、王凯 审题人：于斌 命题时间：2013年7月9日

一、选择题（本大题共12道题，每小题5分，共60分）

１．已知直线m⊥平面α，直线n?平面β，则下列命题正确的是　(　　　　)

A．若α∥β，则m⊥n B．若α⊥β，则m∥n

C．若m⊥n，则α∥β D．若n∥α，则α∥β

２．若k，２，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点　　(　　)

A．(－1，－４)　　　B．(1,３)　　　　　C．(１,2) D．(1，４)

３．已知过点
的直线与圆
相切，且与直线
垂直，则
（　　　）

A．－
　　　B．　１　　　　C．２ D．

４．直线
被圆
截得的弦长为　(　　)

A．1 B．2 C．4 D．

５．已知点M (a,b )在圆

外, 则直线 ax + by = 1与圆O的位
置关系是（ ）

A．相切 B．相交 C． 相离 D．不确定

６．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C，所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为 (　 )

A．  B． 　　　　　C．1 D． 2　

７．已知
，且
则

的最小值为（　 　）

６　　　　　　Ｂ．７　　　　　　　Ｃ．８　　　　　　Ｄ．９

８．正四面体
中，
、
分别是棱
、
的中点，则直线
与平面
所成角的正弦值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

９．已知实数
满足
，若目标函数
的最小值的取值范围是
，则实数
的取值范围是（ 　）

A．
B．
　　　　 C．
D．

10．已知正四棱柱
中,
为
的中点,则点
到平面
的距离　　（　　）

A．2 B．
C．
D．1

11．若圆
上至少有三个点到直线
：
的距离等于
，则直线

的斜率的取值范围是（　　　）

A．[0,2-
] B．(-
,2-
]
[2+
,+
) C．[0,2+
]D． [2-
,2+
]

12．已知球的直径
是该球球面上的两点，
，且

，则三棱锥
—
的体积为（　　）

Ａ．１　　　　Ｂ．
　　　　　Ｃ．
　　　　　Ｄ．

二、填空题（本大题共4道题，每小题5分，共20分）

13． 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 　

14．设变量x，y满足约束条件
，则
的取值范围是

15．过点（3，２）作圆
的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB

方程为　　　　　　　　　

16．方程
有两个不等实根，则k的取值范围是

三、解答题
（本大题共6道题，其中17题10分，18~22题每题12分，共70分）

17．等比数列
中，已知
(1) 求数列
的通项
；

(2)若等差数列

，
，
，求数列

前n项和
，并求
最大值和相应的n值．

18．在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

（１）求A的大小；（２）若a=４，求b+c的最大
值．

19. 如图，在四棱
锥中，底面
四边长为4的菱形，
,
,
,
为
的中点，
为
的中点。

（１）证明：直线

；

（２）求点
到平面
的
距离．

20．已知过点
的直线
被圆
所截得的弦长为
，求直线
的方程．

[来源:学.科.网]

21．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.

( 1 ) 求证：BB1⊥平面ABC；

( 2 ) 求二面角C－DA1－C1的余弦值．

22． 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为
，在
轴上截得线段长为
．（１）求圆心P的轨迹方程;

（２）若P点到直线y=x的距离为
，①求圆P的方程；

②若圆心P的纵坐标大于零，点
M是直线
：

上的动点，MA,MB分别是圆P的两条切线，A,B是切点，求四边形MAPB面积的最小值．

[来源:学科网ZXXK]

参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

D

C

C

B

A

D

B

C

D

D

B





填空题

14.

16.

解答题

17.解：(1）由
，得q=2,解得
，从而

（2）由已知得
解得d=-2

由于

所以
或
时，
有最大值72

解：（1）

（2）

当且仅当b=c时，等号成立

19.（1）证明：取OD中点E, 证明四边形MNCF为平行四边形，则

(2)解：

所以CD边上的高等于4，
,

[来源:学科网ZXXK]

解：设直线
的方程为y+3=k(x+3)(k存在)，即kx-y+3
k-3=0[来源:学§科§网Z§X§X§K]

所以圆心C(0，-2)到
直线
的距离为

因为弦长为
，半径r=2，所以
，

整理得：
所以，k=2或

故直线
的方程为2x-y+3=0或x+2y+9=0

21.(1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB，又CD⊥
DA1，AB∩A1D＝D，

∴CD⊥平面AA1B1B，∴CD⊥BB1，

又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC.

以C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立

空间直角坐标系(如图所示)，

则C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,0,2)，C1(0,2,0)，A1(0,2,2)，D(1,0,1)．

设n1＝(x1，y1，z1)是平面DCA1的法向量，

则有，即，∴，故可取n1＝(1,1，－1)．[来源:Zxxk.Com]

同理设n2＝(x2，y2，z2)是平面DC1A1的法向量，且＝(1，－2,1)，＝(0,0,2)．

则有，即，∴.故可取n2＝(2,1,0)．

∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，

又二面角C－DA1－C1的平面角为锐角，所以其余弦值为.

（1）设P（x，y）有已知得：

①因为P（x，y）到x-y=0的距离
，所以

所以
，则

所以

②因为纵坐标大于零，则P(0，1)

因为
，若
最小，则
为

P(0，1) 到直线x+y-5=0距离为
，

所以
。