海珠区 2012 学年第二学期期末考试试题

高一数学

本试卷共 4 页， 20 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位

号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域

内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔

和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

5．本次考试不允许使用计算器．

一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．
? ?

Ａ．
Ｂ． -1 ? Ｃ．
Ｄ． 0

2．已知角a的终边经过点P (4, 3) ，则 sina+cosa的值
是

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

3．若函数
，则 f (x) 是

Ａ．最小正周期为
的奇函数 Ｂ．最小正周期为 π 的奇函数

Ｃ．最小正周期为 2π 的偶函数 Ｄ．最小正周期为 π 的偶函数

4．化简

Ａ．
Ｂ．0 Ｃ．
Ｄ．

5．
? ? ? ?

Ａ．
Ｂ．
Ｃ
．
Ｄ．

6．在等差数列
中，已知
，则

Ａ．12 Ｂ． 20 Ｃ．16 Ｄ． 24

7．将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是

Ａ．
? Ｂ．
?

Ｃ．
Ｄ．
?

8．在
中， tan A 是以-4为第三项、4为第七项的等差数列的公差， tan B 是以
为

第三项、9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是

Ａ．钝角三角形 Ｂ．等腰直角三角形

Ｃ．锐角三角形 Ｄ．等腰三角形

函数
在区间
的简图是

10 ． 在
中 ， 点 P 在 BC 上 ， 且
， 点 Q 为
中 点 ， 若

，
,则

????

Ａ. ( 2, 7) ? Ｂ. (6, 21) ? Ｃ. (2, -7) ? Ｄ. ( -6, 21)

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.

11．已知a，b，c 三个正数成等比数列，其中

,
,则 b= ? .

12．已知
，则
的最小值为 .

13．在边长为
的正三角形 ABC 中，设
，
，
，则

14．给出下列命题：

①存在实数
,使
； ②函数
是偶函数；

③
是函数
的一条对称轴的方程；

④若
、
是第一象限的角，且
，则
.

其中正确命题的序号是 .

三、解答题：本大题共 6 小题，满分
80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15． （本小题满分 12 分）

已知向量 a =(1, 0), b =(2,1). ? ?

（1）求| a+3b|；

（2）当 k 为何实数时, ka-b 与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？

16． （本小题满分 12 分）

在假期社会实践活动中， 小明参观了某博物馆． 该博物馆大厅有一幅壁画,刚进入大厅时,

他在点 A 处看这幅壁画顶端点 C 的仰角为
,往正前方走 4m 后， 在点 B 处看壁画顶端

点 C 的仰角为
(如图所示).

(1) 求 BC 的长；

(2) 若小明身高为1.70m ,求这幅壁画顶端点 C 离地面的高度.

（精确到 0.01m ，其中
）.

17． （本小题满分 14 分）

设等差数列
的前n项和为
，等比数列
的前n项和为
，已知
,
，
.

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）求
与
.

18． （本小题满分 14 分）

已知函数

（1）求
的最小正周期；

（2）求
的单调递增区间；

（3）求
在
上的最值及取最值时 x 的值.

[来源:Z*xx*k.Com]

19． （本小题满分 14 分）

在平面直角坐标系中，点 P ( x, y)满足约束条件：
．

（1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域 (用阴影表示,并注明边界的交点) ；

（2）设
，求 u 的取值范围；

（3）已知两点 M(2,1), O(0, 0)，

求
的最大值．

20． （本小题满分 14 分）

数列
满足：
=2，
=3，
，
为数列
的

前 n 项和．

（1）求证：数列
为等差数列；

（2）设
，,求数列
的前 n 项和
；

（3）设
（
为非零整数，
），试确定
的值，使得对任意
，有
恒成立．

 2012-2013学年第二学期期末教学质量监测

高一数学试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案








[来源:学+科+网]






[来源:学。科。网Z。X。X。K]











二、填空题：本大题考查基本知识和基本
运算．共4小题，每小题5分，满分20分．

11．
12．
　　　13．
　　　14．②③

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分）已知向量

（1）求
；

（2）当
为何实数时,
与
平行, 平行时它们是同向还是反向？

（本小题主要考查向量的基本概念和性质，考查向量的坐标运算的能力等）

解：（1）
………………………………………..2分

∴
=
=
. ………………………………………..4分

（2）
………………………………..6分

设

，则
zxxk ………………….8分

∴


………………………………………………………10分

解得
.……………………………………………………….11分

故
时,
与
反向平行……………………………
……….12分

16．（本小题满分12分）

在
假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画,刚进入大厅时,他在点
处看这幅壁画顶端点
的仰角为
,往正前方走
后，在点
处看壁画顶端点
的仰角为
(如图所示).

(1) 求
的长；

(2) 若小明身高为
,求这幅壁画顶端点
离地

面的高度（精确到
，其中
）.

[来源:学_科_网]

（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理的应用．本小题满分12分）

解：(1)在
中，

…2分

由正弦定理，得
, ………………………………4分

将
代入上式，得
（
………………………6分　　

(2
)在
中，

...…………8分

因为
,

所以
， 　　　　　 ……………………………………………9分

则
， 　　　　　　 ….…………
…………………………………..10分

所以
（
）．….……….11分

答：
的长为
；壁画顶端点
离地面的高度为
．　　　 ………12分

17．（本小题满分14分）

设等差数列
的前
项和为
，等比数列
的前

项和为
，已知
,
.

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）求
与
.

（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前
项和公式，考查运算求解能力．）

解：（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
.

由
,得
, ……………………………………………………….2分

又
,所以
………………………………………………………….3分

……………………………………………………
…….5分

由
,得
, …………………………
………………………….…….…6分

又
,所以
…………………………………………………….…….…8分[来源:学.科.网Z.X.X.K]

…………………………………………………………………….…….10分

（2）
……………………………………….12分

…………………………………………
…14分

[来源:学科网]

18．（本小题满分14分）

已知函数

（1）求
的最小正周期；

（2）求
的单调递增区间；

（3）求
在
上的最值及取最值时
的值.

（本小题主要考查三角函数的基本性质、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运
算求解能力）

解：（1）因为

……………………1分

……………………………2分

…………………………………3分

所以
的最小正周期
………………………
……………..4分

（2）因为

由
, ……………….…………6分

得
………………………………………………..7分

所以
的单调增区间是
……..……………..8分

（3）因为
，所以
……..………...………....9分

所以

……..………...………...……..………...…….10分[来源:学,科,网Z,X,X,K]

所以
……...………...……..………...…12分

当
即
时，
取得最小值1. ……..………...13分

当

即
时，
取得最大值4. ……..………...……...14分

19．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，点
满足约束条件：
．

（1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域 (用阴影表示,并注明边界的交点) ；

（2）设
，求
的取值范围；

（3）已知两点
，求
的最大值．

（本小题主要考查线性规划，直线的斜率, 向量的坐标运算等基础知识与基本技能,考查用数形结合的思想方法解决综合问题的能力．）

解：（1）由
得
，
. ...............................................1分

由
得
，
. .........................................2分

由
得
，
. ..........................................3分

画出可行域
，如右下图所示. ..................................................................4分

（2）
．……………………………………………………….. .……5分

当直线
与直线
重合时，倾斜角最小且为锐角,此时
; …………6分

当直线
与直线
重合时，倾斜角最大且为锐角，此时
; ………..7分

所以
的取值范围为
.………………………………………………8分

（3）
，……………………………………....…..10分

设
，则
， ……………………………………………..…11分

表示直线
在
轴上的截距， ………………………………………12分

当直线
经过点
时，
取到最大值， ……………………………
…13分

这时
的最大值为
.
………………………………………….14分

20．（本小题满分14分）[来源:学|科|网]

数列
满足：
．
为数列
的前
项和．

（1）求证：数列
为等差数列；

（2）设
,求数列
的前
项和
；

（3）设
（
为非零整数，
），
试确定
的值，使得对任意
，有
恒成立．[来源:Z.xx.k.Com]

（本小题主要考查等差数列、等比数列及前
项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、分类讨论的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力．）

解：（1）由
，得

（
，
）， ……………1分

即
（
，
），且
． ……………………2分

∴数列
是以
为首项，公差为1的等差数列． …………………3分

（2）由（1）知
．……………………………………………………………4分

所以
,

,
,

两式相减得

………………………………6分

所以
. ……………………………………………………………8分

（3）
,

要使