北京市东城区（南片）2012－2013学年下学期高一期末考试

数学试卷

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 直线l经过原点和点(－
， 1)，则它的斜率为

A. －
B.
C.
D.

2. 不等式2x
－x－1>0的解集是

A. (
，1) B. (1，+∞) C. (－∞，1)∪(2，+∞) D. (－∞，
)∪(1，+∞)

3. 在ΔABC中，已知D是AB边上一点，
，则实数λ=

A. －
B. －
C.
D.

4. 已知点A(1，1，1)，点B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为

A. 4
B. 2
C. 4
D. 3

5.

A. －
B. －
C.
D.

6. 直线l：y=kx－3k与圆C：x
+y
－4x=0的位置关系是

A. l与C相交 B. l与C相切 C. l与C相离 D. 以上三个选项均有可能

7. 已知等比数列{a
}的公比为正数，且a
·a
=2a
，a
=1，则a
=

A.
B.
C.
D. 2

8. 设
，则sin2θ=

A. －
B. －
C.
D.

9. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
，则

A. 8 B. 4 C. 2 D. 1

10. 设a，b为正实数，下列结论正确的是

①若a
－b
=1，则a－b<1； ②若
，则a－b<1；

③若
，则|a－b|<1； ④若|a
－b
|=1，则|a－b|<1.

A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①④

二、填空题共6小题，每小题3分，共18分．

11. 过点(－3，－1)，且与直线x－2y=0平行的直线方程为________．

12. 若x>0，则函数
的最小值是________．

13. 已知{a
}为等差数列，S
为其前n项和，若a
=
，a
+a
+a
，则S
=________．

14. 过点(－1，6)与圆x
+y
+6x－4y+9=0相切的直线方程是________．

15. 等比数列｛a
}中，a
+a
=5，a
+a
=4，则a
+a
=________．

16. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．

三、解答题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17. (本小题共9分)

已知向量a=(1，2)，b=(－2，m)，m∈R．

(Ⅰ)若a∥b，求m的值；

(Ⅱ)若a⊥b，求m的值．

18. (本小题共9分)

某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润．

19. (本小题共9分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足
．

(Ⅰ)求角C的大小；

(Ⅱ)求
的最大值，并求取得最大值时角A的大小．

20. (本小题共9分)

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(－2，0)的直线l与圆x
+y
=1交于P、Q两点，且

(Ⅰ)求∠PDQ的大小；

(Ⅱ)求直线l的方程．

21. (本小题共8分)

已知数列{a
}的前n项和为S
，且S
=－n
+20n，n∈N
．

(Ⅰ)求通项a
；

(Ⅱ)设{b
－a
}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b
}的通项公式及其前n项和T
．

22. (本小题共8分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x
－6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．

(Ⅰ)求圆C的方程；

(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A， B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.

1. B 2. D 3. D 4. A 5. C

6. A 7. B 8. A 9. C 10. D

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11. x－2y+1=0 12. 2 13.

14. 3x－4y+27=0或x=－1. 15.
16.

三、解答题：本大题共6小题，共52分.

17. (共9分)

解(Ⅰ)因为a∥b，

所以1·m－2(－2)=0，m=－4. ……………………………5分

(Ⅱ)因为a⊥b，所以a·b=0，

所以1·(－2)+2m=0，m=1. …………………………………9分

18. (共9分)

解：设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则

由已知，得z=300x+400y．

且

画可行域如图所示，

目标函数z=300x+400y可变形为

解方程组
得，
即A(4，4).

所以，Z
=1200+1600=2800.

所以，该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为2800元.………9分

19. (共9分)

解：(Ⅰ)由正弦定理得
．

因为0

所以sinA>0. 从而sinC=cosC.

又cosC≠0，所以tanC=1，则
．…………………………………………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知B=
－A. 于是

=

=

=

因为0

所以当
，即A=
时，

取最大值2.

综上所述，
的最大值为2，此时A=
．………………………9分

20. (共分)

解：(Ⅰ)因为P、Q两点在圆x
+y
=1上，所以
，

因为
，所以
．

所以∠POQ=120°． …………………………………………………………………………5分

(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在，

因为直线l过点M(－2，0)，可设直线l：y=k(x+2)．

由(Ⅰ)可知O到直线l的距离等于
．