汕头市金山中学2013-2014学年高一10月月考

数学试题

一．选择题（共10小题）

1. 已知集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．{－4，－3，－2，－1，0，1}

2．设集合
,则满足
的集合B的个数是 （ ）

A．1 B．3 C．4 D．8

3.下列函数与
有相同图象的一个函数是（ ）sj.fjjy.org

A.
B.
C.
D.

4.下列函数中,在区间
上是增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

5.设
是定义在
上的一个函数，则函数
在
上一定是（ ）

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数

6.三个数
的大小关系为（ ） sj.fjjy.org

A.
B.

C.
D.

7．若偶函数
在
上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

A.
B.

C.
D.

8．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（
）x的图象只可能是（ ）

9. 函数
的单调递减区间是 （ ）

A.
B. (-
,-1),(3,+
) C. (1,3) D. (1,+
)

10.定义符号函数
，设
，若
，则f(x)的最大值为（ ）

A．3 B． 1 C．
D．

二．填空题（共6小题）

11.函数
的定义域

12.函数
的值域是________________

13.若函数
是偶函数，则
的递减区间是

14.当a＞0且a≠1时，函数f (x)=ax－2－3必过定点 .

15.计算：
=

16．设函数
则实数
的取值范围是

三．解答题（共5题，必须写出必要的解答步骤）

17．(本小题满分14分)把长为10cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，求这两个正方形面积之和的最小值。

18、(本小题满分14分)已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
．

(Ⅰ)求
的表达式；

(Ⅱ)判断并证明函数
在区间
上的单调性．

19．(本小题满分14分)已知函数
，

（1）当
时，判断并证明
的奇偶性；

（2）是否存在实数
，使得
是奇函数？若存在，求出
；若不存在，说明理由。

20．(本小题满分14分)已知函数

（1）求函数
的值域；

（2）若
时，函数
的最小值为
，求
的值和函数
的最大值。

21. (本小题满分14分) 已知函数
＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m．

(Ⅰ)若方程f(x)=0在[－1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；

(Ⅱ)当a＝0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)若函数y＝f(x)（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7－2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q－p）．



答：（略）

18、(本小题满分14分)

(Ⅰ) 解：∵
是奇函数，∴对定义域
内任意的
，都有
--1分

令
得，
，即

∴当
时，
--------------3分

又当
时，
，此时
---5分

故
--------------7分

(Ⅱ) 解：函数
在区间
上是减函数，下面给予证明． -----------8分

设
，则

-----10分

∵

∴
，
即
---13分

故函数
在区间
上是减函数． ------------14分

19．（1）
。当
时，
，

， ∴f（x）是偶函数。

（2）假设存在实数a使得f（x）是奇函数，

∵
，
，

要使
对任意x∈R恒成立，即
恒成立，有

，即
恒成立，

∴

20．解：设

（1）

在
上是减函数

所以值域为
…… 6分

（2）①当
时，
由

所以
在
上是减函数，

或
（不合题意舍去）

当
时
有最大值，

即

②当
时，
，
在上
是减函数，

，
或
（不合题意舍去）

或
（舍去）

当
时y有最大值，即

综上，
或
。当
时f（x）的最大值为
；当
时f（x）的最大值为
。

21解：(Ⅰ)：因为函数
＝x2－4x＋a＋3的对称轴是x＝2，

所以
在区间[－1，1]上是减函数，

因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：

即
，解得
，

故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．

(Ⅱ)若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)的值域的子集．

＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，下求g(x)＝mx＋5－2m的值域．

①当m＝0时，g(x)＝5－2m为常数，不符合题意舍去；

②当m＞0时，g(x)的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3]
[5－m，5＋2m]，

需
，解得m≥6；

③当m＜0时，g(x)的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3]
[5＋2m，5－m]，

需
，解得m≤－3；

综上，m的取值范围为
．

(Ⅲ)由题意知
，可得
．

①当t≤0时，在区间[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，

所以f(t)－f(2)＝7－2t即t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去）；

②当0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，

所以f(4)－f(2)＝7－2 t即4＝7－2t，解得t＝
；

③当2＜t＜
时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，

所以f(4)－f(t)＝7－2t即t2－6t＋7＝0，解得t＝
（舍去）sj.fjjy.org

综上所述，存在常数t满足题意，t＝－1或
．