长春市十一高中2013-2014学年度高一上学期期末考试

数 学（理科） 试 题

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分120分，测试时间120分钟。

第一部分（选择题）

一、选择题（每题4分，共48分）

1．
设集合
＝{
|
}，
＝{
|
}，则
∪
＝(　　)

A．{
|
} B．{
|
}

C．
D．{
|
或
}

2. 已知函数
满足：当
时，
；当
时，
，则
（ ）

A
.
B.
C.
D.

3.已知函数
，若存在
，使得
恒成立，则
的值是( )

A．
B．
C．
D．

4．若＜θ＜，则下列不等式成立的是(　　)

A．sin θ＞cos θ＞tanθ B．cos θ＞tan θ＞sin θ[来源:学科网]

C．sin θ＞tan θ＞cos θ D．tan θ＞sin θ＞cos θ

5．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)＝(　　)

A．3－cos 2x B．3－sin 2x

C．3＋cos 2x
D．3＋sin 2x

6．为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长
度 D．向右平移个单位长度

7．设函数f(x)＝Asi
n(ωx＋φ)，的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则(　　)

A．f(x)的图象过点 B．f(x)在上是减函数

C．f(x)的一个对称点中心是
D．f(x)的最大值是A

8．在区间
范围内，函数
与函数
的图象交点的个数为(　　)

A．3　　　　 B．5　　　　 C．7　　　　 D．9

9．如图，单摆从某
点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为：s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)

A．2π s　　　 B．π s　　　 C．0.5 s　　
　D．1 s

10．已知向量
，

，
，则
的取值范围是(　　)

A．[0，] 　B．[0，
]　 C．[
，
]　 D．[，

]

11．若非零向量
，
满足|
|＝ |
|，
，则
与
的夹角为(　　)

A． 30° B．60° C．120° D．150°

12.已知函数
，正实数
、
满足
，且
，若
在区间[
]上的最大值为
，则
、
的值分别为(　　)

A．、2　 B．、4 C．、　　 D．、4

二、填空题（
每题4分，共16分）

13．若a＝(1,2)，b＝(3, －4)，则a在b方向上的投影为________．

14．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)
和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．

15．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝________.

16．给出下列命题：[来源:Zxxk.Com]

①函数f(x)＝4cos(2x+
)的一个对称中心为(
,0);

②已知函数f(x)＝min{sinx，cosx}，则f(x)的值域为[-1,
];[来源:学科网]

③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ.

④f(x)＝4sin(x∈R)，由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；[来源:Z§xx§k.Com]

⑤若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－
）=0.

其中所有真命题的序号是______．

三、解答题（本大题共5小题，共56分）

17.（10分）设函数
是定义在R上的奇函数，若当
时，
，求满足
的
的取值范围.

18．(10分)已知关于x的方程4x2－2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值．

19．(12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．

（Ⅰ）求该地区这一段时间内温度的最大温差；

（Ⅱ）若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？

20．（12分）已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．

（Ⅰ）若||＝||，求tanθ的值；

（Ⅱ）若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sinθ
cosθ的值．

21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0且ω>0,0<φ<的部分图象，如图所示．

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．

附加题（10分）（计
入总分）：

已知
，
，[来源:Zxxk.Com]

求
的值。

长春市十一高中2013-2014学年度高一数学期末考试答案

一、选择题（本大题共12小题．每小题4分，共48分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

B

Ｄ

D

C

A[来源:学科网ZXXK]

C

B

D

D[来源:学*科*网]

C

B





二、填空题（
本题共4个小题。每小题4分，共16分）

13．
; 14．  ; 15  ； 16．①②⑤。

三、 解答题（总分56分）

17．(本小题满分10分)．

解：∵
是
上的奇函数，∴
，∴
.设
，

则
，∴
，∴
，--------5分

由
得，
或
∴
或
.-------10分

18．(本
小题满分10分)

解：设直角三角形的两个锐角分别为α
、β，则可得α+β=
，∴cosα=sinβ

∵方程4x2－2(m+1)x+m=0中，Δ=4（m+1)2－4·4m=4(m－1)2≥0[来源:学科网]

∴当m∈R，方程恒有两实根.

又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=
，cosα·cosβ=sinβcosβ=

∴由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2·
=(
)2解得m=±

----6分

当m=
时，cosα+cosβ=
＞0，cosα·co
sβ=
＞0，满足题意，--8分

当m=－
时，cosα+cosβ=
＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.

综上，m=
----------1
0分

19．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由函数易
知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10°C，所以最大温差为30°C－10°C＝20°C.------4分

（Ⅱ）令10sin＋20＝15，得sin＝－，而x∈[4,16]，所以x＝.---7分

令10sin＋20＝25，得sin＝，而x∈[4,16]，所以x＝.------10分

故该细菌
能存活的最长时间为－＝(小时)．-------12分

2
0．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)∴＝(2sinθ－1，cosθ)，＝(2sinθ，cosθ－1)∵||＝||，∴＝

化简得2sinθ＝cosθ∵cosθ≠0(若cosθ＝0，则sinθ＝±1，上式不成立)

所以tanθ＝------------6分

（Ⅱ）∵＝(1,0
)，＝(0,1)，
＝(2sinθ，cosθ)，∴＋2＝(1,2)

∵(＋2)·＝1，∴2sinθ＋2cosθ＝1

∴sinθ＋cosθ＝
。---------------------------12分

21．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由图象易知函数f(x)的周期为

T＝4×＝2π，A＝1，所以ω＝1.-----3分

法一　由图可知此函数的图象是由y＝sin x的图象向左平移个单位得到的
，故φ＝，所以函数解析式为f(x)＝sin.-----------6分

法二　由图象知f(x)过点.则sin＝0，∴－＋φ＝kπ，k∈Z.

∴φ＝kπ＋，k∈Z，又∵φ∈，∴φ＝，∴f(x)＝sin.

（Ⅱ）方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sin在上的图象，当x＝0时，f(x)＝，当x＝时
，f(
x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∪(－1,0)．------12分[来源:学*科*网Z*X*X*K]

附加题（10分）（计入总分）：

解：由条件得:sinα－1≠0且sinβ=
,

.

化简得:3sin2α－2sinα－3=0,解之:si
nα=
.