本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回．

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．化简
（ ）

2. 在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于(　　)

A．30° B．60°

C．90° D．120°

3. 下列命题正确的是（ ）

A．若
，则
；

B.
，则
；

C.若
与
是共线向量，
与
是共线向量，则
与
是共线向量 ；

D. 若
与
是单位向量，则


；

4．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　)

A．45°或135° B．135°

C．45° D．以上答案都不对

5．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是(　　)

A．|a|＝|b| B．a·b＝

C．a∥b D．a－b与b垂直

6．在△ABC中，已知
，则△ABC是(　　)

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等腰三角形

7．在△ABC中，已知|
|＝4，||＝1，S△ABC＝，则·等于(　　)

A．－2 B．2

C．±4 D．±2

8. 如图，在圆
中，
是圆心,点
在圆上，
的值（ ）

(A)只与圆C的半径有关；

(B)只与弦
的长度有关

（C）既与圆C的半径有关，又与弦
的长度有关

（D）是与圆
的半径和弦
的长度均无关的定值

9．已知
是等差数列，
为其前n项和，若
， O为坐标原点，点
、
，则
（ ）

A．4022 B． 2011 C．0 D．1

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是( )

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

第Ⅱ部分 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．1－2sin222.5°的值是 .

12．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影为________．

13．等差数列
中，有
，则
= 。

14.如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，

若＝x＋y，则x＝________，y＝________.

15、给定下列命题:

①在
中,若
<0则
是钝角三角形；

②在
中
，
，
，若
，则
是直角三角形;

③若A、B是△ABC的两个内角，且A＜B，则sinA＜sinB；

④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对边的长，且
<0则△ABC一定是钝角三角形. 其中真命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

17．(本小题满分12分)

已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.

18、(本小题满分12分)

如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直 角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.

(1)求cos∠CBE的值；

(2)求AE.

19、(本小题满分12分)

如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P点的坐标为(－，)．

(1)求的值；

(2)若·＝0，求sin(α＋β)．

20、(本小题满分13分)

已知向量
，
。设函数
。

（Ⅰ）求函数
的最大值及此时x的取值集合；

（Ⅱ）在角A为锐角的
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
且
的面积为3，
，求a的值。

21．(本小题满分14分)

设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝＋2 (n－1) (n∈N*)．

(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；

(2)是否存在自然数n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2 013？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

成都五校联考高一数学试题(答案)

16. 解　(1)＝(3,5)，＝(－1,1)，

求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．

由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，

由－＝(4,4)，得|－|＝4.……………………………………….......………6分

(2)＝(－2，－1)，∵(－t)·＝·－t2，易求·＝－11，2＝5，

∴由(－t)·＝0得t＝－.…………………………………………………..…12分

17. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，

又公差d>0，∴a3

∴，∴，∴an＝4n－3. ……………………………..….…………6分

(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，

∴bn＝＝.∴b1＝，b2＝，b3＝.

∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，

∴2c2＋c＝0，∴c＝－ (c＝0舍去)．…………………………………………..…….…12分

19. 1解　(1)由三角函数定义得cos α＝－，sin α＝，

∴原式＝＝＝2cos2α＝2·(－)2＝.……..…6分

(2)∵·＝0，∴α－β＝，∴β＝α－，

∴sin β＝sin(α－)＝－cos α＝，

cos β＝cos(α－)＝sin α＝.

∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋(－)×＝.……….…………………12分

20. 解：（Ⅰ）

………………..…….…4分

令
得
，

，此时的集合为
……………………6分

（Ⅱ）由（I）可得

。

因为
，所以
。

从而
，
……………………………………………….…….……8分

又

………………….…….…..…..……10分

又
，

……………………………………………………………………..…...…12分

21. 解　(1)由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1) (n∈N*)．

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，

即an－an－1＝4，故数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列．

于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n (n∈N*)．……………………………………..4分

(2)由Sn＝nan－2n(n－1)，得＝2n－1 (n∈N*)，

又S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.

令2n－1＝2 013，得n＝1 007，即存在满足条件的自然数n＝1 007. …………………..…9分