高中一年级期中质量调研考试试题

数 学 2014.04

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；

2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.

参考公式: 回归直线方程
中:

,
；

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

3.对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据(
，
)(=1，2，…，8)，其回归直线方程是：
，且
，
，则实数a的值是

A．
B．

C．
D．

4.运行如图所示的程序框图，则输出的结果
为

A．1007

B．1008

C．2013

D．2014

5．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为

A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15

6.某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则
的值为

A.6 B. 7

C.8 D.9

7. 定义某种运算
，运算原理如图所示，则式子

的值为

A．4 B．8 C．11 D．13

8．已知圆C的方程为
，当圆心C到直线
的距离最大时，
的值为

A．
B．
C．
D．5

9. 已知三棱锥S-ABC，在三棱锥内任取一点P，使得
的概率是

A.　　　　 B. C. D.

10. 已知两点
，若点P是圆
上的动点，则
面积的最小值为

A．6 B. C．8 D.

高中一年级期中质量调研考试试题

数 学 2014.04

第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上

11. 已知
是空间两点，点在轴上，且
,则点的坐标为 .

12. 过点M（0，4）被圆
截得的线段长为
的直线方程为 .

13.若
这10个数据的样本平均数为
,方差为0.33,则
，
这11个数据的方差为________．

14. 在区间
内随机取两个数a、b， 则使得函数
有零点的概率为 .

15．给出下列结论

①扇形的圆心角为
弧度，半径为2，则扇形的面积是
；

②某小礼堂有25排座位，每排20个，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是系统抽样方法；

③一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为对立事件；

④若数据：
的方差为8，则数据
的方差为16；

⑤相关系数越大，表示两个变量相关性越强.

其中正确结论的序号为 . (把你认为正确结论的序号都填上)．

三、解答题：本大题共6个小题.满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤

16.（本小题满分12分）

已知
.

17.（本小题满分12分）

假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：

x（年）

2

3

4

5

6



y（万元）

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0



若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：

（Ⅰ）回归直线方程；

（Ⅱ）根据回归直线方程, 估计使用年限为10年时，当年维修费用约是多少？

[参考数据：2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7＝112.3]

18.（本小题满分12分）

已知：

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值.

19.（本小题满分12分）

有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3，4.

（Ⅰ）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；

（Ⅱ）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线
与圆
有公共点的概率.

20.（本小题满分13分）

已知圆
的半径为
,圆心
在直线
上,且在轴的下方,轴被圆
截得的弦长为
.

（Ⅰ）求圆
的方程;

（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线
,使
被圆
截得的弦
，以
为直径的圆过原点？若存在求出直线
的方程；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分14分)

从某学校的
名男生中随机抽取
名测量身高，被测学生身高全部介于
cm和
cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[
,
)，第二组[
,
)，…，第八组[
,
]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．

（Ⅰ）求第七组的频率；

（Ⅱ）估计该校的
名男生的身高的中位数以及身高在
cm以上

（含
cm）的人数；

（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，

记他们的身高分别为
，

事件
{
}，

事件
{
}，求
．

高中一年级期中质量调研考试试题

数学参考答案

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.

16.（本小题满分12分）

解：
，

，

.……………………………………………………………………4分

又
，

只可能为第二象限角或第四象限角. ……………………………………6分

（1）当为第二象限角时，
.

（2）当为第四象限角时，
. …………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
.……………………………………………………2分

,
，…………………………………………………4分

=
，…………………………6分

，………………………………………………8分

∴回归直线方程为
. ……………………………………10分

（Ⅱ）当x=10时，
（元） …………………11分

答: 使用年限为10年时，当年维修费用约是12．38万元 …………………12分

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，

即：

……………………2分

.……………………………4分

又

. ……………………………6分

（Ⅱ）由已知条件：

，解得
. ……………………………8分

…10分

.………………………………………………12分

19.（本小题满分12分）

解：（I）用（a,b）（a表示第一次取到球的编号，b表示第二次取到球的编号）表示先后二次取球构成的基本事件，则基本事件有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3）共12个.……………………………3分

设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，

则事件A包含的基本事件有：（2,1），（2,4），（4,2）共有3个，……………………5分

∴
.………………………………………………………………………6分

(II)基本事件有（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共16个，…………………………8分

设“直线
与圆
有公共的”为事件B，由题意
，

即
，则事件B包含的基本事件有（1,4），（2,4），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共8个，………………………………………………………………11分

∴
.………………………………………………………………………12分

20.（本小题满分13分)

解: （Ⅰ）设圆心为

由勾股定理可得
（其中d是弦心距,MN是截得的弦长）,

即:
.又a > 0,则a =1,圆心(1,-2).

圆
的标准方程是:
. ………………………………………4分

（Ⅱ）方法一:利用圆中的勾股定理（半径,半弦长,弦心距）解决问题.

设以AB为直径的圆M的圆心为M（a,b）,
的斜率为1.在圆C中有
.

由C(1,-2)得
即b=-a-1.(*) …………………………………………8分

以AB为直径的圆过原点.OM=AM=BM=

由
得

把(*)式代入上式,得
从而
，……………………11分

故

又（a,b）在直线
:x-y+m=0上,故m=b-a
，

∴直线
的方程为
或
.……………………………13分

方法二:利用韦达定理解决问题

的斜率为1,可设
,交点A
，…………………5分

圆C:
故

① ……………………………………7分

韦达定理可得
（★）…………………………………9分

以AB为直径的圆过原点.则
，即 ：
， …………10分

故
， 把（★）式代入得

，∴
或
.……………………………………………12分

经检验:
均能使①式中的判别式大于0成立,

所以
或
都是方程的解.

∴直线
的方程为
或
.………………………………13分

所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为
人． ………………8分

（Ⅲ）第六组
的人数为4人,设为
,第八组[190,195]的人数为2人, 设为
,则有

共15种情况，

……………………………………………………………………………………………10分

因事件
{
}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为
共7种情况，故
． ……………11分

由于
，所以事件
{
}是不可能事件，
.…………………………………………………………………………………12分

由于事件和事件是互斥事件，所以
.………14分