北京市西城区2013-2014学年下学期高一年级期末考试数学试卷

（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 不等式
的解集是（ ）

（A）{
} （B）{
}

（C）{
或
} （D）{
或
}

2. 在等比数列{
}中，若
—8，则
等于（ ）

（A）—
（B）—
（C）
（D）

3. 总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成。利用下面的随机数表选取4个个体。选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ）

7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800



3204 9234 4935 3623 4869 6938 7481



（A）02 （B）14 （C）18 （D）29

4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

（A）1 （B）5 （C）14 （D）30

5. 在△ABC中，若
，则△ABC的形状是（ ）

（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）无法确定

6. 已知不等式
的解集为P。若
，则“
”的概率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 设
，则下列不等式中不恒成立的是（ ）

（A）
≥2 （B）
≥2（
）

（C）
≥
（D）
≥2

8. 已知数列
：
，
，…，
（
…
）具有性质P：对任意
,
两数中至少有一个是该数列中的一项。给出下列三个结论：

①数列0，2，4，6具有性质P；

②若数列A具有性质P，则
；

③若数列
，
，
（
）具有性质P，则
。

其中，正确结论的个数是

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为_______________。

10. 下图是甲，乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图。那么甲、乙两人得分的标准差s甲___________s乙（填“<”,“>”或“=”）。

11. 已知{
}是公差为
的等差数列，
。如果
·
，那么
的取值范围是______________。

12. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为
，从{2，4，6}中随机选取一个数为
，则
的概率是______________。

13. 若实数
满足
，则
的最大值是______________。

14. 设M为不等式组
所表示的平面区域，N为不等式组
所表示的平面区域，其中
。在M内随机取一点A，记点A在N内的概率为P。

（ⅰ）若
，则P=______________；

（ⅱ）P的最大值是______________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分13分）

在等差数列{
}中，
。

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）设{
}的前
项和为
。若
,求
。

16. （本小题满分13分）

在△ABC中，A
，B
，BC
。

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）求AB的长。

17. （本小题满分14分）

经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）。现从在校学生中随机抽取100人，按上学所需时间分组如下：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到如图所示的频率分布直方图。

（Ⅰ）根据图中数据求
的值；

（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率。

18. （本小题满分13分）

已知函数
，其中
。

（Ⅰ）若
，求
在区间[0，3]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）解关于
的不等式
。

19. （本小题满分14分）

已知数列{
}的前
项和
，其中
。

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{
}满足
，
，

（ⅰ）证明：数列
为等差数列；

（ⅱ）求数列{
}的前
项和
。

20. （本小题满分13分）

在无穷数列{
}中，
，对于任意
，都有
，
。 设
，记使得
成立的
的最大值为
。

（Ⅰ）设数列{
}为1，3，5，7，…，写出
的值；

（Ⅱ）若{
}为等比数列，且
，求
…
的值；

（Ⅲ）若{
}为等差数列，求出所有可能的数列{
}。

高一数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. A；2. B；3. D；4. C；5. B；6. B；7. D；8. A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 73.1； 10. >； 11. （0，
）；12.
； 13.
；14.
，

注：14题第一问2分，第二问3分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分。

15. （本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设等差数列{
}的公差为
。

依题意，得
。 【4分】

解得
，
。 【6分】

所以数列{
}的通项公式为
。 【8分】

（Ⅱ）解：
。 【10分】

令
，即
。 【12分】

解得
，或
（舍去）。 【13分】

16. （本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由正弦定理可得
， 【3分】

所以
【6分】

（Ⅱ）解：由余弦定理，得
， 【9分】

化简为
， 【11分】

解得
，或
（舍去）。 【13分】

17. （本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为（0.005+0.01+
+0.03+0.035）
【2分】

所以
。 【3分】

（Ⅱ）解：依题意，第3组的人数为
，第4组的人数为
，第5组的人数
，所以这三组共有60人。 【4分】

利用分层抽样的方法从这60人中抽取6人，抽样比为
。 【5分】

所以在第3组抽取的人数为
，在第4组抽取的人数为
，在第5组抽取的人数为
。 【8分】

（Ⅲ）解：记第3组的3人为
，第4组的2人为
第5组的1人为
。

从6人中抽取2人的所有情形为：（
）,（
）,（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），共15种可能。 【11分】

其中第4组的2人中，至少有1人被抽中的情形为：（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），共9种可能。 【13分】

所以，第4组至少有1人被抽中的概率为
。 【14分】

18. （本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
时，
【1分】

所以，函数
在（0，1）上单调递减；在（1，3）上单调递增。 【2分】

所以
在[0，3]上的最小值为
。 【3分】

又

所以
在[0，3]上的最大值为
。 【4分】

（Ⅱ）解：（1）当
时，原不等式同解于
。 【5分】

因为

所以
【6分】

此时，
的解集为{
或
}。 【7分】

（2）当
时，原不等式同解于
。 【8分】

由
，得：

①若
，则
，

此时，

的解集为{
}。 【10分】

②若
，原不等式无解。 【11分】

③若
，则
，

此时，

的解集为{
}。 【13分】

综上，当
时，不等式的解集为{
}；当
时，不等式的解集为{
}；当
时，不等式的解集为

；当
时，不等式的解集为{
}。

19. （本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为数列{
}的前
项和
，

所以
。 【2分】

因为
时，
，也适合上式， 【3分】

所以
。 【4分】

（Ⅱ）（ⅰ）证明：当
时，
，

将其变形为
，即
。 【6分】

所以，数列
是首项为
，公差为2的等差数列。 【8分】

（ⅱ）解：由（ⅰ）得，
。

所以
。 【10分】

因为
，

所以
。 【12分】

两式相减得
。

整理得
。 【14分】

20. （本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
，
，
。 【3分】

（Ⅱ）解：因为{
}为等比数列，
，
，

所以
， 【4分】

因为使得
成立的
的最大值为
，

所以
，
，
，
，
，
， 【6分】

所以
。 【8分】

（Ⅲ）解：由题意，得
，

结合条件
，得
。 【9分】

又因为使得
成立的
的最大值为
，使得
成立的
的最大值为
，

所以
，
。 【10分】

设
，则
。

假设
，即
，

则当
时，
；当
时，
。

所以
，
。

因为{
}为等差数列，

所以公差