衡阳市八中2014年上期高一期末考试试题

数 学

命题人: 彭学军

（本卷共21道小题,考试时间120分钟,满分100分）

注意事项：答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题卡的密封线内．答题时,答案

写在答题卡上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效．考试结束后,上交答题卡．

一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）

1.
的值为（ B ）

A．
B．
C．
D．1

2.若
，则下列不等式成立的是(　D　）

A．
B．
C．
D．

3.在
中，内角
的对边分别为
，若
,
,
,

则
等于( A )

A. 1 B.
C.
D. 2

4.已知数列
满足
，
，其前项和为
，则（ D ）.

A.
B.
C.
D.

5.在
中，若
，则
一定是（ C ）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

6. 同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线
对称；③在
上是增函数”的

一个函数是（ C ）

A．
B．
　 C．
D．

7.在四边形
中，
，
,则该四边形的面积为 （ D ）.

A.
B.

C.5 D.15

8.已知点
在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，

则
的最大值是（ D ）

A．1 B．3

C．5 D．13

9.已知等差数列
的前项和
满足
且
，则下列结论错误的是（ D ）

A．
和
均为
的最大值 B．

C．公差
D．

10. 已知
是两个单位向量，且
=0．若点
在
内，且
，

则
, 则
等于（ C ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题4分,共5小题，满分20分）

11．已知集合
,
，则

12．已知等比数列
的公比为正数，且
=，
，则
= 1 .

13. 在
中，内角
的对边分别为
，若
，且
是
与
的等差

中项，则角
___
______.

14．已知正实数
满足
，则
的最小值为______.

15. 已知数列
通项为
，则
-1008 .

三、解答题（共6小题，满分50分）

16. (本题满分6分) 已知关于的不等式
的解集为
.

（1）求实数
的值；

（2）解关于的不等式：
（为常数）.

解：（1）由题知
为关于的方程
的两根，

即
∴
. ………………3分

（2）不等式等价于
，

所以：当
时解集为
；

当
时解集为
；

当
时解集为
. ……………6分

17.(本题满分8分) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

解：（1）
. …………3分

（2）
=
. ……………5分

……………8分

18.(本题满分8分) 等比数列
的前项和为
，公比
，已知
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
分别为等差数列
的第4项和第16项，试求数列
的通项公式及前项和
.

解：（1）易知
,由已知得
，解得
.所以
. …4分

（2）由（1）得
，
，则
，
,

设
的公差为
，则有
解得
……………………6分

且数列
的前项和

………8分

19.(本题满分8分) 已知
,函数

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）设
的内角
的对边分别为
，且
，
，若
，求
的面积．

解：（1）
，
的最小值为
，最小正周期为

……………3分

（2）
，则
．

∵
，∴
，因此
＝
，∴
．……………5分

∵
及正弦定理，得
．①

由余弦定理，得
，且
，

∴
. ②

由①②联立，得
,
． ……………7分

……………8分

20.(本题满分10分)如图，山顶有一座石塔
，已知石塔的高度为.

（1）若以
为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角

为
，用
表示山的高度；

（2）若将观测点选在地面的直线
上，其中是塔顶在地面上的射影. 已知石塔高度
,

当观测点在
上满足
时看
的视角(即
)最大，求山的高度.

21.(本题满分10分) 设函数
（其中
），区间
.

（Ⅰ）定义区间
的长度为
，求区间
的长度；

（Ⅱ）把区间
的长度记作数列
，令
，

（1）求数列
的前项和
；

（2）是否存在正整数，（
）,使得
，
，
成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）由
，得
，解得
，

即
，所以区间
的长度为
； …………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.

（1）∵

∴

…………6分

（2）由（1）知，
，
，

假设存在正整数、
，使得
、
、
成等比数列，则
，

即
, 经化简得
.

∴
∴
（*）

当
时，（*）式可化为
，所以
.

当
时，
.

又∵
，∴（*）式可化为
，所以此时无正整数解.

综上可知，存在满足条件的正整数、，此时
，
. …………10分