吉林市普通高中2014-2015学年度高一年级学业水平监测数学

本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共48分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1. 设全集
, 则

A.
B.

C.
D.

2. 已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β 。 其中正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

3. 函数
的定义域、值域分别是

A．定义域是，值域是 B．定义域是，值域是

C．定义域是
，值域是 D．定义域是，值域是

4. 在直角坐标系中，直线
的倾斜角是

A．30° B．60° C． 120° D．150°

5. 函数
的大致图像是

A. B. C. D.

6. 已知直线l1：
与l2：
平行，则k的值是

A．
B．
C．
D．

7. 圆
过点
的切线方程是

A．
B．

C．
D．

8. 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，异面直线AD与CB1所成的角是

A． 30°

B． 45°

C． 60°

D． 90°

9.
四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程与时间的函数

关系式分别是
，
，
，
，如果运动的时间足够

长，则运动在最前面的物体一定是

A.
B.
C.
D.

10. 直线
与圆
交于
两点，则

A. B.
C.
D.

11. 下表中与数对应的
值有且只有一个是错误的，则错误的是

x

3

5

6

8

9

12

27





















 A.
B.

C.
D.

12. 已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的等边三角形，SC为球O的直径，若三棱锥S－ABC的体积为
，则球O的表面积是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共72分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

13. 给出两条平行直线
，则

这两条直线间的距离是

14．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边

长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于 .

15. 给出四个区间： ①
；②
；③
；④
，

则函数
的零点所在的区间是这四个区间中

的哪一个： （只填序号）

16. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是

AB，A1C1的中点，则EF的长是 ．

17. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为
，

若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为

半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是

18. 已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，令
，则关于
有下列命题：①
的图象关于原点对称；②
为偶函数；③
的最小值为0； ④
在(0，1)上为增函数. 其中正确命题的序号是:

 .

三、解答题（本大题共5小题，共54分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（本题满分10分）

已知在平面直角坐标系中，△
三个顶点坐标分别为

（I）求
边的中线
所在的直线方程；（II）求
边的高
所在的直线方程

20．（本题满分10分）

已知
⊥平面
,
⊥平面
,△
为等边三角形,

,为
的中点.

求证: （I）
∥平面
.

（II）平面
⊥平面
.

21．（本题满分10分）

已知函数
在
上为增函数，且
，试判断
在

上的单调性并给出证明过程.

22．（本题满分12分）

如图，长方体
中，
, 点是棱
上一点

（I） 当点在
上移动时，三棱锥
的体积是否变化？若变化，说明理由；

若不变，求这个三棱锥的体积

（II） 当点在
上移动时，是否始终有
，证明你的结论

（III）若是
的中点，求二面角
的正切值

23. （本题满分12分）

已知圆
的半径为3， 圆心在轴正半轴上，直线
与圆
相切

（I） 求圆
的标准方程

（II）过点
的直线与圆
交于不同的两点
，而且满足

，求直线的方程

命题、校对： 孙长青

吉林市普通高中2014-2015学年度高一年级学业水平监测

数学(Ⅰ)参考答案与评分标准

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

D

B

A

C

D

B

D

B

C

A





二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

13.
; 14．
; 15. ② ; 16.
; 17.
; 18. ②③④

19．（本题满分10分）

解：（1）BC中点D的坐标为
， ------------------------------------------2分

所以直线AD方程为：
，
-----------------------5分

（2）因为
，
,所以
----------------------------8分

所以直线BH方程为：
，
-------------------------10分

20．（本题满分10分）

证明:(1)取CE的中点G,连接FG,BG.因为F为CD的中点,所以GF∥DE且GF=
DE. ----2分

因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE,所以GF∥AB.

又因为AB=
DE,所以GF=AB. --------------------------------------------------2分

所以四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.因为AF?平面BCE,BG平面BCE,

所以AF∥平面BCE. --------------------------------------------------5分

(2)因为△ACD为等边三角形,F为CD的中点,所以AF⊥CD,因为DE⊥平面ACD,AF平面ACD,所以DE⊥AF.又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE. ------------------------8分

因为BG∥AF,所以BG⊥平面CDE.因为BG平面BCE,

所以平面BCE⊥平面CDE. -------------------------------------------10分

21．（本题满分10分）

解：F(x)在（0，+∞）上为减函数.

证明：任取
,
∈(0,+∞)，且
<
-------------------------------------------2分

∴F(
)－F(
)=
. ---------------------------------------------4分

∵y=f(x)在（0，+∞）上为增函数，且
<
∴f(
)

而f(
)＜0,f(
)＜0,∴f(
)f(
)＞0. -----------------------------------------------------------------9分

∴F(
)－F(
)＜0,即F(
)>F(
) ∴F(x)在（0，+∞）上为减函数. -----------------10分

22．（本题满分12分）

解：（I）三棱锥
的体积不变,

所以
---------------------------------------------4分

（II）当点在
上移动时，始终有
，

证明：连结
,四边形
是正方形，所以
,

因为
,

------------------------------------------------------------- 8分

（III）因为E为AB中点,所以DE=EC=
,而CD=2, 所以

所以
,双因为
所以

是二面角
的平面角

,
是二面角
的正切值为
-----12分

23. 解（I）设圆心为
，

因为
，所以
，所以圆的方程为：
----------------------------------4分

（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：
，与圆M交于

此时
，满足
，所以
符合题意 -------------------------6分

当直线L的斜率存在时，设直线L：

消去y，得

整理得：
-----------（1）

所以

由已知
得：

整理得：
-----------------------10分

把k值代入到方程（1）中的判别式
中，

判别式的值都为正数，所以
，所以直线L为：
，

即

综上：直线L为：
，
------------------------------12分