2013年 11月

第Ⅰ卷

一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分；满分50分；每小题给出四个选项中只有一项是正确的）。

1．已知
，那么下列不等式成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设等比数列
的前n项和为
，若
，则
等于( )

A．144 B．63 C．81 D．45

3．当x＞1时，不等式a≤x＋恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2) B．(－∞，3] C．[3，＋∞) D．[2，＋∞)

4．在△ABC中，三内角分别是A、B、C，若
，则此三角形一定是（ ）

A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

5．设变量x,y满足约束条件
，则目标函数
的最大值是（ ）

A．11 　 B．12 C．13 D．14

6. 在
中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）

A．
，
，
　　　　B．
，
，
　

C．
，
，
　　　 　D．
，
，

7.“m=-1”是“mx+(2m-1)y+2=0”与直线“3x+my+3=0”垂直的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8．若不等式f（x）＝
＞0的解集
，则函数
的图象为

9．下列关于数列单调性说法正确的是（ ）

A．等差数列一定是单调数列.

B．等比数列单调递增的充要条件是公比
。

C．如果函数
在
上单调递增，则数列
为单调递增数列。

D．如果数列
为单调递增数列，则函数
在
上单调递增。

10．已知
，则数列
的前50项中最小项和最大项分别是（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡相应位置上。

11.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 .

12、实数
满足
，则
的取值范围是 .

13、在行列矩阵
中，记位于第行第
列的数为

，当
时，

14．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，x∈[0，π]上的图象如图，则在[－π，π]上不等式≥0的解集是__________．

15．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）

⑴常数列既是等差数列，又是等比数列；

⑵若直角三角形的三边、
、成等差数列，则、
、之比为
；

⑶若三角形
的三内角、、
成等差数列，则
；

⑷若数列
的前项和为
，则
的通项公式
；

⑸若数列
的前项和为
，则
为等比数列。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

asinA＋csinC－asinC＝bsinB.

(1)求B；

(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

17．(本小题满分12分)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用．

18、(本小题满分12分)已知数列
中，
，
，其前项和

满足

．

（1）求证：数列
为等差数列，并求
的通项公式；

（2）设
为数列
的前项和，求

（3）若
对一切
恒成立，求实数
的最小值.

19. (本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时
海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于
处时，乙船位于甲船的北偏西l05°方向的
处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达
处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的
处，此时两船相距
海里，问乙船每小时航行多少海里?

20、（本小题满分13分）已知
。

（1）若不等式
对任意实数
恒成立，求实数的取值范围；

（2）若
，解不等式
。

21．（本小题满分14分）已知数列
的前项的和为
，
是等比数列，且
，
。

⑴求数列
和
的通项公式；

⑵设
，求数列
的前项的和
。

⑶设
，数列
的前项的和为
，求证：
．

数学参考答案（理科）

(2)sinA＝sin(30°＋45°)

＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.

故a＝＝＝1＋，

c＝＝2×＝.

17．(本小题满分12分)

[解析]　(1)设矩形的另一边长为am，

则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.

由已知xa＝360，得a＝，

∴y＝225x＋－360(x>0)．

(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10800.

∴y＝225x＋－360≥10440.

当且仅当225x＝时，等号成立．

即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

18、(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由已知，
（
，
），且
．

∴数列
是以
为首项，公差为1的等差数列．∴

（Ⅱ）

（Ⅲ）
，∴
≤

∴
≥

又
≤
，（也可以利用函数的单调性解答）

∴
的最小值为

20、（本小题满分13分）

解：（1）原不等式等价于
对任意的实数
恒成立，

设

当
时，
，得
；

当
时，
，得
；

当
时，
，得
；

综上

（2）
，即

因为
，所以
，因为

所以当
时，
， 解集为｛x|
｝；

当
时，
，解集为
；

当
时，
， 解集为｛x|
｝

21．（本小题满分14分）

解：⑴依题意有：当
时，
；

当
时，

所以

又
，所以
，

即

所以
。

⑶由

令
①

②

①-②得：

所以
即
．