考试时间：90分钟 考试内容（立体几何、简易逻辑、椭圆）

一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）

1．在下列命题中，不是公理的是（ ）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

2．,为两条不同的直线，,
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )

A．
B．

C．
D．

3．三棱柱
侧棱与底面垂直，体积为
，高为
，底面是正三角形，若是
中心，则
与平面
所成的角大小是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．在空间直角坐标系中，点
关于轴的对称点的坐标是（ ）

A.
B.
C.
D.

5．如果一个水平放置的图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底都为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．下列四种说法中，错误的个数是（ ）

①
的子集有3个； ②“若
，则
”的逆命题为真；

③“命题
为真”是“命题
为真”的必要不充分条件；

④命题“
，均有
”的否定是：“
，使
”．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．椭圆
的右焦点为，椭圆
与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于
，且
，则椭圆
的方程为(　　)

A．
B．
C．
D．

9．如图，在正四棱锥
中，
分别是
的中点，

动点在线段
上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（　　）

（1）
； （2）
；

（3）
； （4）
．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图正三棱柱
的底面边长为
，高为2，一只蚂蚁

要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点
，若侧面
紧贴墙面

（不能通行），则爬行的最短路程是（ ）

A．
B．
C． 4 D．

11．如图，在四棱锥
中，侧面
为正三角形，

底面
为正方形，侧面
，
为底面
内

的一个动点，且满足
，则点
在正方形
内的轨迹为(　　)

12．如图，在四面体
中，
，且
两两互相垂直，点
是
的中心，将
绕直线
旋转一周，则在旋转过程中，直线
与
所成角的余弦值的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．在空间直角坐标系中，已知点
，点
在轴上，

且
到与的距离相等，则
的坐标是 ．

14．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ．

15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，

经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置

的椭圆形球盘，点
是它的两个焦点，长轴长
，焦距
，

静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线（不与长轴共线）

发出，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程为 ．

16．下列命题：

①
的三边分别为
则该三角形是等边三角形的充要条件为

；

②在
中，“
”是“
”的充要条件；

③若命题
命题
则命题
是假命题；

④已知
都是不等于零的实数，关于的不等式
和
的解集分别为
，则
是
的充分必要条件；

⑤“函数
为奇函数”的充要条件是“
”．

其中正确的命题是 ．

三．解答题（本题共5大题，共48分）

17．（本小题满分8分）

如图所示的多面体中，
是菱形，
是矩形，
面
，
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）若
，求四棱锥
的体积．

18．（本小题满分10分）

设：实数满足
，其中
，：实数满足

（1）若
，且
为真，求实数的取值范围；

（2）
是
的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．（本小题满分10分）

已知某椭圆
，它的中心在坐标原点，左焦点为
，且过点
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若已知点
，当点在椭圆
上变动时，求出线段
中点
的轨迹方程．

20．（本小题满分10分）

如图，
为圆
的直径，点
在圆
上，
，矩形
所在的平面与圆
所在的平面互相垂直．已知
.

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）（文科做）求直线
与平面
所成角的大小；

（理科做）当
的长为何值时，平面
与平面
所成的锐二面角的大小为60°？

21．（理科做）（本题满分10分）

如图，已知三棱柱
，侧面
⊥底面
.

（1）若
分别是
的中点，求证：
；

（2）若三棱柱
的各棱长均为2，侧棱
与底面
所成的角为60°，问在线段
上是否存在一点，使得平面
⊥平面
？若存在，求
与
的比值，若不存在，说明理由．

21．（文科做）（本题满分10分）

如图，四边形
中，
分别在
上，
现将四边形
沿
折起，使得平面
平面
．

（1）设
，问当为何值时，三棱锥
的体积有最大值？并求出这个最大值．

（2）当
，是否在折叠后的
上存在一点，使得
平面
？若存在，求出
的长，若不存在，说明理由；

山西大学附中

2014—2015学年第一学期高三12月月考（总第三次）

数学试题评分细则

考试时间：90分钟 考试内容（立体几何、简易逻辑、椭圆）

由
面
,

，

则
为四棱锥
的高 …………………….6分

由
是菱形，
，则
为等边三角形，

由
；则
，
， …………………….7分

…………………….8分

18．（本小题满分10分）

解：由
，
得
，即为真命题时，
，

由
，得
， …………………….2分

即
，即为真命题时
. …………………….3分

（1）
时，p：
，由
为真知和均为真命题，则
，

得
，所以实数的取值范围为
． ……………….6分

（2）设
，
，由题意知是q的必要不充分条件，

所以
， ……………….8分

有
，所以实数a的取值范围为
． ……………….10分

19．（本小题满分10分）

解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，

∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（﹣
，0），

∴a=2，c=
，可得b=1

因此，椭圆的标准方程为
． ……………….5分

（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），

由根据中点坐标公式，可得
， ……………….7分

∵点P（x0，y0）在椭圆上，

∴可得
，化简整理得
，

∴线段PA中点M的轨迹方程是
． ……………….10分

20．（本小题满分10分）

解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，

CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，

∴CB⊥平面ABEF，

∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB， ……………….2分

又AB为圆O的直径，

∴AF⊥BF， ……………….3分

又BF∩CB＝B，

∴AF⊥平面CBF. ……………….4分

∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF. ……………….5分

(2)由(1)知AF⊥平面CBF，

∴FB为AB在平面CBF内的射影，

因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角． ……………….7分

∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，

过点F作FH⊥AB，交AB于H.

已知AB＝2，EF＝1，则AH＝＝.

在Rt△AFB中，根据射影定理得AF2＝AH·AB，∴AF＝1，

sin∠ABF＝＝，∴∠ABF＝30°.

∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°. ……………….10分

(3)设EF中点为G，以O为坐标原点，
，
，
方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AD＝t(t＞0)，则点D的坐标为(1,0，t)，C(－1,0，t)，又A(1,0,0)，B(－1,0,0)，F，

∴
＝(2,0,0)，
＝，

设平面DCF的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·
＝0，n1·
＝0.

即，令z＝，

解得x＝0，y＝2t，∴n1＝ (0,2t，)． ……………….7分

由(1)可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为

n2＝
＝， ……………….9分

依题意，n1与n2的夹角为60°.

∴cos 60°＝，

即＝，解得t＝.

因此，当AD的长为时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°. ………………10分

21．（理科做）（本题满分10分）

解：(1)证明：连接AC1，BC1，则AC1∩A1C＝N，AN＝NC1，

因为AM＝MB，

所以MN∥BC1. ………………2分

又BC1?平面BCC1B1，

所以MN∥平面BCC1B1. ………………4分

(2)作B1O⊥BC于O点，连接AO，

因为平面BCC1B1⊥底面ABC，

所以B1O⊥平面ABC，

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，

B1(0,0，)．

由
＝
＝
，可求出

A1(1，，)，C1(2,0，)，

设点P(x，y，z)，
＝λ
.

则P，

＝，