陕西省西安市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学

一．选择题 (本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　 )

A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α ≠1

C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝

2．抛物线y=-2x2的焦点坐标为( )

A. (
,0) B. (0,
) C. (
,0) D. (0,
)

3．下列运算正确的是(　　)

A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x)′

B. (cosx·sinx)′＝(sinx)′·cosx＋(cosx)′·cosx

C．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2)′(x2)′

D．[(3＋x2)(2－x3)]′＝2x(2－x3)＋3x2(3＋x2)

4．下列说法中，正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆命题是真命题

B．命题“
，
”的否定是：“
，
”

C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

D．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件

5．若△ABC顶点B, C的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC, AB边上的中线长之30则△ABC的重心G的轨迹方程为( )

A．
B．

C．
D．
6

6. 直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋ln x相切于点P(1,4)，则b的值为(　　)

A．3 B．1 C．－1 D．－3

7．已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则非p是(　　)

A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0

B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0

C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0

D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0

8.已知
,则双曲线
:
与
:
的( )

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

9．已知函数
在R上满足
，则曲线
在点
处的切线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．
10.“
”是“方程
表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.已知点P在曲线y=
上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是 （ ）

A.[0,
) B.

C.
D.

12．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于(　 )

A．9 B．6 C．4 D．3

二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上)

13.已知命题
存在
．若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．

14. 过点(1,0)作曲线y＝ex的切线，则切线方程为________．

15如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，则离心率为 .

16.已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn+1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，

f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 014(x)＝________.

17. 设F为圆锥曲线的焦点，P是圆锥曲线上任意一点，则定义PF为圆锥曲线的焦半径

下列几个命题  ①．平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆

②．平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是

双曲线.

③．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线

④．以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切

⑤．以抛物线的焦半径为直径的圆和y轴相切

⑥．以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切

其中正确命题的序号是 .

三．解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(10分)已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

19.（10分）已知函数

。若曲线
与曲线
相交，且在交点处有相同的切线， 求的值和切线的方程.

20. (10分)设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2， y2)，

求证： (1) y1y2＝－p2， （2） x1x2＝；

21.(14分)已知直线
与椭圆

相交于A、B两点．

（1）若椭圆的离心率为
，焦距为2，求线段AB的长；

（2）若向量
与向量
互相垂直（其中
为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的最大值．

西安市第一中学2014-2015学年度第一学期期末考试试

高二数学（理科）参考答案

一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共计50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

B

B

C

A

D

A

C

D

B



二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共计25分）

13. (0,1) . 14.e2x－y－e2＝0. 15
16. cosx-sinx .

17. ④⑤⑥ .

三、解答题：（本题共4小题，共计44分，要求写出必要的文字说明或推理过程）

18（10分）

解　∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0

即p：00且c≠1，∴非p：c>1.[2分]

又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，∴c≤.

即q：00且c≠1，∴非q：c>且c≠1.[4分]

又∵“p或q”为真，“p且q”为假， ∴p真q假或p假q真．[5分]

①当p真，q假时， {c|0

②当p假，q真时，{c|c>1}∩＝?.[9分]

综上所述，实数c的取值范围是.[10分]

19（10分）

解：
……3分

由已知得
，解得：
. ……6分

所以两条切线交点为
，切线斜率为
. ……8分

所以切线方程为
即
. ……10分

20.(10分) 证明：　设
、
，
.

，
，
……………3分

，设
，设
.

由
得：
， 由根与系数的关系得：
……7分

又
，

异号
…………9分, 所以.
…………10分.

21（14分）

解.（1）（6分）
，2c=2，即
∴
则

∴椭圆的方程为
， 将y =- x+1代入消去y得：

设
∴

（2）（8分）设
,
，即

由
，消去y得：

由
，整理得：

又
，

由
，得：

，整理得：

代入上式得：
，

条件适合
，由此得：
故长轴长的最大值为
．

(其他解法参照给分)