一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．抛物线
的焦点坐标是

A．
B．
C．
D．

2．原命题“若
，则
”的逆否命题是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

3．双曲线
的焦点坐标是

A．
B．

C．
D．

4．命题“
，
”的否定是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

5．某三棱锥的三视图如图1所示，其正视图和侧视图

都是直角三角形，则该三棱锥的体积等于

A．
B．
C． D．3

6．直线
与圆

相交于A、B两点，则AB的长度等于

A．1 B．
C．
D．

7. “
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知直线
与平面，则下列四个命题中假命题是

A．如果
，那么
B．如果
，那么

C．如果
，那么
D．如果
，那么

9．过点
且离心率
的椭圆的标准方程是

A．
B．

C．
或
D．
或

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是
.

（1）证明：A，B，C三点不共线；

（2）求过A，B的中点且与直线
平行的直线方程；

（3）求过C且与AB所在的直线垂直的直线方程.

16．（本小题满分13分）

如图4，⊙O在平面内，AB是⊙O的直径，
平面，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点.

（1）求证：
平面；

（2）求证：平面
平面；

（3）求证：
平面
.

17．（本小题满分13分）

如图5，三棱柱
中，侧棱垂直底面，
，
，D是棱
的中点.

（1）证明：
平面
；

（2）若
，求三棱锥
的体积.

18．（本小题满分14分）

已知圆心
在轴上的圆过点
和
.

（1）求圆
的方程；

（2）求过点
且与圆
相切的直线方程；

（3）已知线段
的端点
的坐标为
，端点在圆
上运动，求线段
的中点N的轨迹.

19．（本小题满分14分）

如图6，已知点
是圆心为
半径为1的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，
是直径，
，直线
平面
.

（1）证明：
；

（2）在
上是否存在一点
，使得

∥平面
，若存在，请确定点
的位置，

并证明之；若不存在，请说明理由；

（3）求点
到平面
的距离.

20．（本小题满分14分）

已知椭圆
的两个焦点的坐标分别为
，
，并且经过点（
，
），M、N为椭圆
上关于轴对称的不同两点.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若
，试求点
的坐标；

（3）若
为轴上两点，且
，试判断直线
的交点是否在椭圆
上，并证明你的结论.

2014—2015学年第一学期统一检测题

高二数学（文科）参考答案及评分标准

16．（本小题满分13分）

证明：（1）∵
分别是
的中点，

∴
. （1分）

又∵
， （2分）

∴
平面. （4分）

（2）由（1）知
平面， （5分）

同理可证
平面. （6分）

∵
平面

平面
且
， （7分）

∴平面
平面. （8分）

（3）∵
平面，
平面，∴
. （10分）

又∵AB是⊙O的直径，C为圆周上不同于A、B的任意一点，

∴
. （11分）

∵
,
平面
， （12分）

∴
平面
. （13分）

18．（本小题满分14分）

解：（1）线段AB的中点坐标为
，斜率为
（1分）

所以线段AB的垂直平分线方程为
，即为
. （2分）

令
，得
，即圆心为
. （3分）

由两点间的距离公式，得
. （4分）

∴适合题意的圆
的方程为
. （5分）

或：设圆心为
，由
得
（2分）

解得a=2，所以圆心为
. （3分）

又半径
. （4分）

所以适合题意的圆
的方程为
. （5分）

（2）由（1）知圆
的圆心坐标为
，半径

（i）当过点
且与圆
相切的直线的斜率不存在时，其切线方程为
.（6分）

（ii）当过点
且与圆
相切的直线的斜率存在时，

设为
，则切线方程为
. （7分）

由圆心到切线的距离等于半径，得
，解得
（8分）

所以切线方程为
即

因此，过点
且与圆
相切的直线方程为
或
. （9分）

（3）设点N的坐标为
，P点的坐标为
.

由于Q点的坐标为
且N为PQ的中点，所以
，（10分）

于是有
① （11分）

因为在圆
上运动，所以有
（12分）

将①代入上式得
，即
（13分）

所以，点N的轨迹是以（
，
）为圆心，半径为1的圆. （14分）

19．（本小题满分14分）

（1）证明：∵
平面
，
平面
，

∴
. （1分）

∵点
在圆
上，
是直径，

∴
. （2分）

又∵
，∴
平面
. （3分）

又∵BD(平面BCD，∴AC(BD. （4分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）依定义，椭圆的长轴长
，（1分）

又
， （3分）

因此，所求的椭圆标准方程为
. （4分）

或：设椭圆
的标准方程为
（1分）

因为点（
，
）在椭圆上，所以
又
（3分）

解得

因此，所求的椭圆标准方程为
. （4分）