一、选择题（每小题4分，本大题共40分）

1、若
,
,则复数
的模是 （　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2、下列命题中的假命题是（ ）

A.
B.
C.
D.

3、以下是解决数学问题的思维过程的流程图：

在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是(　　)

A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法

C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法

4、由
确定的等差数列
，当
时，序号等于（ ）

A．80 B．100 C．90 D．88

5、函数
的极值点的个数是(　 　)

A．2 B．1 C．0 D．由a决定

6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠A=30°，
,则
（ ）A.
B.
C.
D.

7、若变量
满足约束条件
,则
的最大值和最小值分别为（　　）

A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0

8、双曲线
的离心率等于（ ）

A.
B.
C.
D.

9、在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K2的观测值k＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为(　　)

A．99.9% B．95% C．90% D．0

附表：

0.050

0.010

0.001



k

3.841

6.635

10.828





10、△ABC的两个顶点为A(-3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )

A．
(y≠0) B.
(y≠0)

C.
(y≠0) D.
(y≠0)

二、填空题（每小题4分，本大题共20分）

11、不等式
的解集是 .

12、把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是 .

13、2014年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解

某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间

的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气

温，数据如下表：

月平均气温x(℃)

17

13

8

2



月销售量y(件)

24

33

40

55



由表中数据算出线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件．

14、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等腰直角三角形，则离心率e=________．

15、在△ABC中，tanA是以－1为第三项，7为第七项的等差数列的公差，tanB是以
为第三项，3为第六项的等比数列的公比，则
________.

三、解答题（本大题共60分，解答题需写出主要的计算过程或证明步骤）

16、（本小题满分8分）要制作一个容积为16立方米，高为1米的无盖长方体容器，已知容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，问如何设计才能使该容器的总造价最低，最低总造价是多少元？

17、（本小题满分9分）设命题
方程
表示双曲线，命题
函数
有两个不同的零点，如果“
”为真，且“
”为假，求的取值范围．

18、（本小题满分10分）在△ABC中，
分别是角A,B,C的对边．

（１）求证：
；

（２）已知
,求的值．

19、（本小题满分10分）（1）已知数列
中，
，求数列
的前项和；

（2）已知
是等比数列
的前项和，且公比
,
成等差数列，求证：
成等差数列．

20、（本小题满分11分）已知函数
，其中
，且曲线
在点
处的切线垂直于直线
．

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数
的单调区间和极值．

21、（本小题满分12分）如图，设为抛物线
的焦点，是抛物线上一定点，其坐为
,
为线段
的垂直平分线上一点，且点
到抛物线的准线
的距离为
．

（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ)过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB,分别与抛物线交于点A、B，如图示，若直线AB的斜率为定值
,求证：直线PA、PB的倾斜角互补．

2014-2015学年上学期湘中名校高二期末考试试卷

文科数学参考答案

三、解答题

解：由已知可得底面面积为
平方米，设底面长为米，宽为米，总造价为元，
2分

则
,
4分

因为
，所以
，当且仅当
时取“=”，
6分

所以应把此容器底面设计成边长为4米的正方形，才能使该容器的总造价最低，最低总造价为
元。
8分

17．解：若命题p为真，则
． …………1分

若命题q为真，则(2a－3)2－4＞0，即
． …………3分

∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q有且只有一个为真． …………4分

（1）若p真q假，则
，∴
．…………6分

（2）若p假q真，则
，∴
或
．………8分

综上所述，a的取值范围是

．…………9分

18．（Ⅰ）略
5分； （Ⅱ）

10分

19、解：（1）由已知
可得
，故数列
是等差数列，且公差为2，首项为1，
3分

故
,

从而

5分

或

5分

20.解：（Ⅰ）
……2分

∵曲线
在点
处的切线垂直于直线

　∴
，∴
……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，则

令
，解得
，　　又
的定义域为
…………6分

当
时，
　∴
在
内为减函数…………8分

当
时，
　∴
在
内为增函数…………10分

由此知函数
在
处取得极小值
，无极大值。…………11分

21. 解：（Ⅰ）∵抛物线的方程为
，∴直线
的方程为
……………１分

又∵点
在线段
的垂直平分线上，且为抛物线
的焦点，

∴点
的横坐标为
．…2分

又∵点
到抛物线的准线
的距离为
，∴
，即
．

∴抛物线的方程为
．……………………………5分