命题人：杨馥琼 审题人：许桂期

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则?R(A∩B)等于 (　　)．

A．(－∞，3)∪ (5，＋∞) B．(－∞，3)∪[5，＋∞)

C．(－∞，3]∪[5，＋∞) D．(－∞，3]∪(5，＋∞)

2．若
，则下列结论不正确的是

A．
B．
C．
D．

3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为
，

则
( )

A．
B.
C.
D.

4. 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，

S3＝7，则S5＝(　 　)

A. B.  C.  D. 

5. 已知如右程序框图，则输出的是( )

A．9 B．11 C．13 D．

6．已知是三角形的一个内角，且
，则方程
表示( )

A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆

C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线

7．方程|x|(x－1)－k＝0有三个不相等的实根，则k的取值范围是 （　　)

A.
B. C.
D. 

8．对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例[2]=2；

[
]=2；[
]=
, 这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有

广泛的应用。那么
的值为( )

A．21 B．76 C．264 D．642

二、填空题( 每小题5分，共30分)

9．在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=
，则
=________.

10. 为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为
，
，
，由此得到频率分布直方图如右上图，则这些学生的平均分为　　　.

11. 已知
，则不等式
的解集是

12. 设等差数列
的前项和为
，若
，则
的最大值为_______.

13. 设点
为坐标原点，
,且点
坐标满足
，则
的最大值为 。

14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,为焦点,
为抛物线上的三点,且满足
,


,则抛物线的方程为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15（本小题12分）

设命题p：实数x满足
，其中
，命题q：实数x满足

(1)若
，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

16（本题满分12分）已知
，函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）已知
，且
，求的值．17．（本题满分14分）如图,在长方体

中,
,点在棱AB上移动.

(1)证明:
;

(2)当为
的中点时,求点到面
的距离;

(3)
等于何值时,二面角
的大小为
.

18．（本小题14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路
（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数
)的图象，且点M到边OA距离为
．

（1）当
时，求直路
所在的直线方程；

（2）当t为何值时，地块OABC在直路
不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

19．（本小题满分14分）

已知如图，椭圆方程为

.P为椭圆上的动点,

F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角

平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

（1）求M点的轨迹T的方程；

（2）已知
、
，试探究是否存在这样的点
，
是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积
？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．



一、选择题：BABC CBDC

二、填空题

9.
10. 64 11.
12. 4 13.
14.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15（本小题12分）

解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得 (x－3a)(x－a)<0. ……1分

又a>0，所以a

当a＝1时，1

由 解得即2

所以q为真时实数x的取值范围是2

若p∧q为真，则?2

所以实数x的取值范围是(2,3)． ……7分

(2)非p是非q的充分不必要条件，

则q是p的充分不必要条件， ……8分

设A＝{x| a

所以03，即1

16（本题满分12分）

解：
……2分

……4分

＝
．……6分

函数
的最小正周期为
．…………8分

（Ⅱ）由
，得
．∴
． ……10分

，∴
…………11分

∴
∴
．…………… 12分

17（本题满分14分）

解:以为坐标原点,直线
分别为
轴,建立空间直角坐标系, ……1分（并在答题卷中作出图像） 设
,则
……2分

(1)
……4分

(2)因为为
的中点,则
,从而
,
, ……5分

设平面
的法向量为
,则
……6分

也即
,得
,从而
, ……8分

所以点到平面
的距离为
……9分

(3)设平面
的法向量
,

∴
……10分

由
……11分

令
, ∴
……12分

依题意
……13分

∴
(不合,舍去),
.

∴
时,二面角
的大小为
……14分

（立体几何证法按每到小题分数给分，具体步骤合理给分）

18（本小题14分）

解：（1）
……5分

（2）设
，……6分

过切点M的切线
即

，……7分

令
得
，故切线
与线段AB交于点
；……9分

令
，得
，故切线
与x轴交于点
。……10分

又
在
递减，所以
故点
在线段OC上

地块OABC在切线
右上部分区域为直角梯形，……12分

面积

，
……13分

当且仅当
时，
。……14分

19（本小题满分14分）

解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM

∵
,

∴
≌
∴M是线段
的中点，
|----2分

∴
=

=
=

∵点P在椭圆上

∴
＝
∴
＝4，--------------4分

当点P在x轴上时，M与P重合

∴M点的轨迹T的方程为：
.----------------------6分

（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点

A
，B
满足
,

分别过A、B作直线OE的两条平行线
、
.

∵同底等高的两个三角形的面积相等

∴符合条件的点均在直线
、
上.------------------------------------7分

∵
∴直线
、
的方程分别为：
、
-------------------8分

设点
（
）∵
在轨迹T内，∴
-----------------------9分

分别解
与

得
与
-------------------------------------11分

∵
且
∴为偶数，在
上
对应的

在
上
，对应的
----------------------13分

∴满足条件的点
存在，共有6个，它们的坐标分别为：

．--------------------------------------14分

（2）由题设得
（A）

且
（B）

由（A）（B）得：

解得
（舍去）或
；由
，若
这与
矛盾，

，即{
是以1为首项， 1为公差的等差数列，

； ………………………10分

（3）证法（一）：运用反证法，假设
则由（1）知

∴
，而当

这与假设矛盾，故假设不成立，∴
.………………………………………14分

证法（二）：由

得
<0或
结论成立；

若

，此时
从而
即数列{
}在
时单调递减，

由
，可知
上成立.…………………………14分