(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.f(x)＝
＋3
＋2，若
，则a的值为(　　)

A. B. C. D.

2.若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)

A．－5 B．7 C．10 D．－19

3.
等于(　　)

A．
B．
C．
D．

4曲线y＝e－2x＋1在(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为(　　)

A. B. C. D．1

5.使函数y＝xsin x＋cos x是增函数的区间可能是(　　)

A．(，) B．(π，2π) C．(，) D．(2π，3π)

6.对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)

A． a＝0或a＝7 B．a＝0或a＝21 C．a<0或a>21 D．0≤a≤21

7.函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为(　　)

8.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )

(A)a＜-1 (B)a＞-1 (C)a＞-
(D)a＜-

9．若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有(　　)

A．0个根 B．1个根 C．2个根 D．3个根

10.定义域为的可导函数
的导函数为
，满足
，且
则不等式
的解集为（ )

A.
B.
C.
D.

11.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且
,则当a

A.f(x)>g(x) B.f(x)g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)

12.若函数f(x)＝xcos x在(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…，an，…，则对任意正整数n必有(　　)

A．π

C．0

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13.由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为_________

14.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为　　__　　

15．f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围为________．

16.如果对定义在R上的函数f(x)，以任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：

①y＝－x3＋x＋1； ②y＝3x－2(sin x－cos x)；

③y＝ex＋1； ④f(x)＝

以上函数是“H函数”的所有序号为________．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (10分)已知
，
，

(1) 求
错误！未指定书签。的解析式。(2) 求错误！未指定书签。
的最小值，并求此时
与
的夹角大小。

18.(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．

(1)求实数a，b的值；

(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．

19.(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)．

(1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数；

(2)当x∈[1,3]时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值．

20．(12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．

21. (12分)定义在R上的函数g(x)及二次函数h(x)满足：

g(x)＋2g(－x)＝ex＋－9，h(－2)＝h(0)＝1且h(－3)＝－2.

(1)求g(x)和h(x)的解析式；

(2)对于x1，x2∈[－1,1]，均有h(x1)＋ax1＋5≥g(x2)－x2g(x2)成立，求a的取值范围；

22.(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.

(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；

(2)证明：(x－1)f(x)≥0.

第一次月考（理科）数学 参考答案

1.A 2.A 3. D 4.A 5.C 6.D 7.C 8. A 9.B 10.B 11. C 12.B

13. 1 14. 6. 15. (－∞，－1] 16. ②③

17.解：（1）
………………4分

(2)
, 令
.得
或
.列表如下：









1

(1，4)

4







正

0

负

0

正









单调增

9

单调减



单调增





所以
的最小值为
，此时
，
………………8分

，
………………10分

18.解　(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，

∴a＋b＝4.①又f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，由条件f′(1)(－)＝－1，

得3a＋2b＝9.②由①，②解得a＝1，b＝3. ………………6分

(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0，或x≤－2，

若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则

[m，m＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m≥0，或m＋1≤－2，即m≥0，或m≤－3，

∴m的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．………………12分

19.解　(1)证明：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2≥0，∴f(x)为R上的单调增函数．………………4分

(2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．

①当a≤1时，f(x)在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f(1)＝3a－1，

∴3a－1＝4，∴a＝>1(舍去)；………………6分

②当1

∴a＝－1<1(舍去)，或a＝2；………………9分

③当a≥3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f(3)为最小值，

∴54－27(a＋1)＋18a＝4，解得a＝<3(舍去)．综上可知，a＝2. …………12分

20．解析　(1)由题意，隔热层厚度为x cm时，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，而建造费用为C1(x)＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)……………6分

(2)
＝6－，令
＝0，则＝6，解得

x＝5或x＝－(舍去)．

当00，可知x＝5是f(x)的最小值点，

对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.故当隔热层修建5 cm厚时，

总费用达到最小值70万元．………………12分

21解：(1)∵g(x)＋2g(－x)＝ex＋－9，①

∴g(－x)＋2g(x)＝e－x＋－9，即g(－x)＋2g(x)＝2ex＋－9，②

由①②联立解得，g(x)＝ex－3.

∵h(x)是二次函数，且h(－2)＝h(0)＝1，可设h(x)＝ax(x＋2)＋1，

由h(－3)＝－2，解得a＝－1，

∴h(x)＝－x(x＋2)＋1＝－x2－2x＋1，

∴g(x)＝ex－3，h(x)＝－x2－2x＋1. ………………6分

(2)设φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x2＋(a－2)x＋6，

F(x)＝g(x)－xg(x)＝ex－3－x(ex－3)＝(1－x)ex＋3x－3，

依题意知，当－1≤x≤1时，φ(x)min≥F(x)max.

∵F′(x)＝－ex＋(1－x)ex＋3＝－xex＋3，在[－1,1]上单调递减，

∴F′(x)min＝F′(1)＝3－e>0，

∴F(x)在[－1,1]上单调递增，∴F(x)max＝F(1)＝0，

∴解得－3≤a≤7，

∴实数a的取值范围为[－3,7]．………………12分

22解　(1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，

xf′(x)＝xlnx＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a.

令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.当00；当x≥1时，g′(x)≤0，

x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，

a的取值范围是[－1，＋∞)……………6分

(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，

即g(x)＋1≤0，即lnx－x＋1≤0，当0

f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；

当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋x(lnx＋－1)

＝lnx－x(ln－＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0. ………………12分