2014～2015学年度下学期期中联考

高 二 数 学（文）

命题人：荆州中学 李祥知 冯 钢 审题人：龙泉中学 陈信金

本试题卷共4页，三大题22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试题卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若复数满足
，则的虚部为

A．1 B． C．
D．－

2．抛物线
的焦点坐标为

A．
B．
C．
D．

3．命题“
”的否定为

A．
B．

C．
D．

4．设点
，则“
且
”是“点在圆
上”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知
的一组数据如下表

2

3

4

5

6





3

4

6

8

9



则由表中的数据算得的线性回归方程可能是

A．
B．
C．
D．

6．设
是
的导函数，
是
的导函数，若函数
在区间上恒有
，则称
是区间上的凸函数，则下列函数在
上是凸函数的是

A．
B．

C．
D．

7．观察下列各式：

，则

A．89 B．144 C．233 D．232

8．某程序框图如图所示，则输出的结果为

A．
B．2 C．
D．

9．曲线C的方程为
,

若直线
的曲线C有公共点，则
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

10．已知
，则函数
在点
处的切线
与坐标轴围成的三角形的面积为

A．
B．
C． 1 D． 2

11．已知
分别是双曲线
的左、右焦点，是双曲线左支上异于顶点的一动点，圆
为
的内切圆，若
是其中的一个切点，则

A．
B．

C．
D．与
的大小不确定

12．已知集合M是由具有如下性质的函数
组成的集合：对于函数
，在定义域内存在两个变量
且
时有
．则下列函数

①
②

③
④
在集合M中的个数是

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）

13．在区间
内任取一个元素
，若抛物线
在
处的切线的斜率为
，则
的概率为 ．

14．已知椭圆C：
，现有命题P：“若
，则椭圆C的离心率为
” ，记命题P和它的逆命题，否命题，逆否命题四种形式的命题中正确的命题的个数为
，则
．

15．若对区间D上的任意都有
成立，则称
为
到
在区间D上的“任性函数”，已知
，若
是
到
在
上的“任性函数”，则的取值范围是 ．

16．方程
确定的曲线即为
的图象，对于函数
有如下结论：

①
单调递增；②函数
不存在零点；

③
的图象与
的图象关于原点对称，则
的图象就是方程
确定的曲线；④
的图象上的点到原点的最小距离为1．

则上述结论正确的是 （只填序号）

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知命题:“
，使得不等式
成立”，命题
“方程
表示的曲线为双曲线”，若
为假，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某中学有甲乙两个文科班进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表：

优秀

非优秀

合计



甲

20

5

25



乙

10

15

25



合计

30

20

50



（Ⅰ）用分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽多少人？

（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名同学在乙班的概率；

（Ⅲ）计算出统计量
，若按95%可靠性要求能否认为“成绩与班级有关”．

下面的临界值表代参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式
其中
）

19．（本小题满分12分）

新建的荆州中学拟模仿图甲建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线
是以点为圆心的圆的一部分，其中
单位：米
；曲线
是抛物线
的一部分；
，且
恰好等于圆的半径．假定拟建体育馆的高
米．

（Ⅰ）若要求
米，
米，求与的值；

（Ⅱ）若
，将
的长表示为点的纵坐标的函数
，并求
的最大值．

并求
的最大值．(参考公式：若
，则
，其中为常数)

20．（本小题满分12分）

设函数
是自然对数的底数）

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若关于的方程
在区间
上恰有两相异实根，求的取值范围；

（Ⅲ）当
时，证明：
．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C的方程为
，如图所示，在平面直角坐标系
中，
的三个顶点的坐标分别为

（Ⅰ）当椭圆C与直线
相切时，求的值；

（Ⅱ）若椭圆C与
三边无公共点，求的取值范围；

（Ⅲ）若椭圆C与
三边相交于不同的两点M,N，求
的面积
的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应模块右边的方框涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做则按所做的第一题记分。（10分）

22．（本小题满分10分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
的最小值为1，求的值．

23．（本小题满分10分）

已知函数

（Ⅰ）若关于的不等式
的解集为
，求实数的值；

（Ⅱ）若
对任意的
恒成立，求实数的取值范围．

24．（本小题满分10分）

已知函数

（Ⅰ） 当
时，解不等式
；

（Ⅱ）当
时
恒成立，求的取值范围．

2014～2015学年度下学期期中联考

高二数学（文）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1-12 CDBAD BBBAA CB

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）

13.
14. 2 15.
16. ②④

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解：化简命题

令

……………………4分

化简命题

即
或
……………………8分

为假，即假且假

故所求实数的取值范围是
……………………12分

18. 解：（1）
人 ……………………3分

（2）6人中甲班4人分别记为

乙班中2人分别记为
在6人中选2人所有的情况为

共15种选法，其中恰有1人有乙班的选法有8种，故所求概率为
………9分

（3）利用公式计算

故按95%可靠性要求认为“成绩与班级有关” ……………………12分

19. 解：（1）由已知有

圆的方程为
……………………2分

令
得
又

即
在抛物线
上

……………………4分

(2)由题意得

圆的方程为

令
得

由
得

又

……………………8分

令
得
当
时，

递增

当
时，

递减 ……………………10分

故
时
……………………12分

20.解：（1）

当
时
当
时

的递增区间为
递减区间为
……………………4分

（2）由方程
得

令
则

当
时，

递减

当
时，

递增

又

……………………8分

（3）要证原不等式成立，只需证明