（考试时间：120分钟 满分：150分）

第I卷

选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的．）

1．下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是 (　　)

A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒

C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧

2．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6．635)≈0．010表示的意义是 ( 　)

A．变量X与变量Y有关系的概率为1%

B．变量X与变量Y有关系的概率为99．9%

C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%

D．变量X与变量Y有关系的概率为99%

3． 下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．

其中说法正确的是 (　　)

A．①② B．②③

C．①③ D．①②③

4．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是 (　　)

A．归纳推理 B．演绎推理

C．类比推理 D．特殊推理

5．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是 (　　)

A．假设是有理数 B．假设是有理数

C．假设或是有理数 D．假设＋是有理数

6．不等式组的解集为 (　　)

A． {x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}

C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}

7．已知a是实数，是纯虚数，则a等于 (　　)

A．1 B．－1

C． D．－

8．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

9．执行如图所示的程序框图，若输入的A的值为2，则输出的P值为 (　 　)

A．2 B．3

C．4 D．5

10．平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1；外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　 　)

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　 　D．

11．已知f(x)＝
是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)

A．(0，1) B．(0，) C．[，) D．[，1)

12．设函数
． 若实数a, b满足
, 则（ ）

A．
B．

C．
D．

第II卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在答题卷相应的位置上．)

13． 已知关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集是（-1,2），则不等式ax+b+4>0的解集是 ．

14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

15．在极坐标系中，点
到直线
的距离是_______．

16．设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____．

三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了4次试验，得到数据如下：

零件的个数x(个)

2

3

4

5



加工的时间y(小时)

2．5

3

4

4．5



(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求y关于x的线性回归方程 ＝ x＋ ；

(3)试预测加工10个零件需要的时间．

参考公式：

18．（本小题满分12分）

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2－Sn(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值并猜想其通项公式；

(2)证明数列{an}是等比数列．

19．(本小题满分12分)

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝
，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

20．(本小题满分12分)

已知曲线
，直线
：
（为参数）．

（1）写出曲线
的参数方程，直线
的普通方程；

（2）过曲线
上任意一点作与
夹角为
的直线，交
于点，
的最大值与最小值．

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．

(1)求a，b的值；

(2)若对任意实数
，不等式
恒成立，求的取值范围．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．

（1）证明：DB=DC；

（2）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为
，
．

（1）求C的参数方程；

（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线
垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定点D的坐标．

24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）

（2）

草　稿　纸



一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

D　

C

A

D

C

A

A

C

D

C

A



二、填空题：

13．
； 14． A； 15．1； 16．2．

三、解答题：

17．解：　(1)散点图如图所示：

………………………4分

(2)＝＝3．5，＝＝3．5，

xiyi＝2×2．5＋3×3＋4×4＋5×4．5＝52．5，

x＝4＋9＋16＋25＝54，

∴ ＝＝0．7，……………………………………7分

 ＝3．5－0．7×3．5＝1．05，………………………………… 9分

∴所求线性回归方程为 ＝0．7x＋1．05．…………………………10分

(3)当x＝10时， ＝0．7×10＋1．05＝8．05，

∴预测加工10个零件需要8．05小时． …………………………12分

18．解：　(1)由an＝2－Sn，得a1＝1；a2＝
；a2＝
；a4＝
，………4分

猜想an＝
(n∈N*)．……………………………6分

(2) an＝2－Sn ①

当
时，
②…………………………7分

①—②得

移项得
，即
，……………………10分

又由(1)知a1＝1，

故{an}是首项为1，公比为
等比数列．……………………………12分

19．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．

因为CA＝CB，

所以OC⊥AB．…………………………………2分

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB．…………………………………4分

因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C．…5分

又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C．…………6分

20．解：（1）曲线C的参数方程为
．

直线
的普通方程为
．…………………………4分

（2）曲线C上任意一点
到
的距离

．…………………………………6分

则
．

其中为锐角，且
．…………………………………8分

当
时，
取到最大值，最大值为
；…10分

当
时，
取到最小值，最小值为
． …12分

21．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4．…………………………………2分

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4．

故b＝4，a＋b＝8． …………………………………4分

从而a＝4，b＝4． …………………………………5分

(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

所以4ex(x＋1)－x2－4x
，

即
对任意实数
恒成立．…… 6分

令
，

则函数
是关于的一次函数， ……………………………8分

由
，故
在
上为增函数．

只需
……………………………10分

得
，

故使原不等式恒成立的的取值范围是
．……………………12分

22．(1)证明：连结DE，交BC于点G．

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE．

而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE．……… 2分

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°，…… 4分

由勾股定理可得DB＝DC． …… 5分

(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，

所以BG＝
． ……… 7分

设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°．

从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，

所以CF⊥BF， ……… 9分

故Rt△BCF外接圆的半径等于
．……… 10分

23．解：（１）设点
是Ｃ上任意一点，则由
可得Ｃ的普通方程为：

　　　　　　　
，即
……… 2分

　　　　　　　所以C的参数方程为
．… 5分

　 （2）设点D的坐标为
，　　　　　　　　　　……… 6分

由（1）知C是以
为圆心，1为半径的上半圆，

因为C在D处的切线与直线
垂直，

所以直线GD与
的斜率相同， ……… 8分

所以
，
， ……… 9分

故点D的坐标为
，即
． ……… 10分

24．解：（1）解法一：当a=2时，
，

利用几何意义可知不等式表示数x到2与4的距离之和大于等于4，… 1分

又2和4之间的距离为2，

即数x可以2和4为标准分别向左或者向右移1各单位.　　　……… 3分

故不等式的解集为：
.　　　　　　　　　 ……… 5分

（1）解法二：当a=2时，

……… 3分

故不等式的解集为：
. ……… 5分

（2）令
，则

由
解得
， ……… 8分

又知
的解集为
，

所以
解得
． ……… 10分