2014—2015学年度下学期有色一中期中考试文科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。全为必做题；全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡相应的位置。

2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷

一选择题（每小题5分，共60分. 下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）

1．已知集合A={x|x2－2x－3<0},B={x|y=
},则
=……………………（）

A．[2，3） B．（-∞，2）∪[3，+∞）

C．（-∞，2）∪（3，+∞） D．（2，3）

2．命题“
”的否定为……………………………………………………（）

A．
B．

C．
D．

3．函数f(x)=2x＋3x的零点所在的一个区间是………………………………………………（）

A（-2，-1） B （-1，0） C（0，1） D（1，2）

4．已知|a|=1,|b|=2, a与b的夹角为1200，且a＋b＋c=0,则a与c的夹角为………………（）

A．300 B．600 C．900 D．1500

5．函数
的部分图象如图所示，则
的解析式为…………………………………………………………………………………………（）

A．

B．

C．

D．

6．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是………( )

7．已知变量x,y满足约束条件
，则z=2x＋y－4的最大值为……………………………………………………（）

A．-4 B．-1 C．1 D．5

8．阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的
的是………………………………………………（ ）

A．39 B．21 C．81 D．102

9．设函数f(x)=
,则满足f(x)≤2的取值范围是…………………………………………………………………………………………………( )

A．（-1，2] B．[0，2] C．[0，+∞） D．[1，+∞）

10．已知双曲线
的一条渐近线的方程是y=
x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的方程是……………………………………………（）

A.
B.
C.
D.

11．已知曲线C:y=
(x>0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1。过点A1、A2分别作x轴的垂线交曲线C于B1 、B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3（x3,0），那么………………（）

A.x1,
,x2成等差数列 B. x1,
, x2成等比数列

C. x1，x3，x2成等差数列 D. x1，x3，x2成等比数列

12．定义方程f(x)=f /(x)的实根x0叫做函数的“新驻点”。若函数g(x)=x，h(x)=ln(1+x)，u(x)=x3-1的新驻点分别是а,β,γ，则а,β,γ之间的大小关系是……………………………………………( )

A. а>β>γ B. β>а>γ C.γ>а>β D. β>γ>а

二填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题卡上）

13．设i为虚数单位，则复数
的共轭复数为 ▲

14．已知x,y是正实数，且
，则xy的最大值为▲

15．已知圆O：x2+y2=4上到直线l:x＋y=a的距离等于1的点有3个，则a= ▲

16．设互不相等的正整数a1，a2，…，an(n≥2,n∈N+)组成的集合为M={ a1 ,a2 ,…,an}，定义集合S={(a,b)|a∈M,b∈M,a-b∈M}.

1) 若M={1，2，3，4}，则集合S中的元素最多有▲ 个。

2）若M={ a1 ，a2 ，…，an}，则集合S是的元素最多有▲ 个。

第Ⅱ卷

三解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）

已知函数f(x)=cos(
－2x)＋2cos2x

1)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取得最大值时对应的x的集合.

2)若把函数f(x)的图象向右平移
个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间。

18．（本小题12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn-1=0(n≥2,n∈N)，a1=
。

求证：数列{
}为等差数列。并求数列{an}的通项公式an。

记数列{bn}的通项公式为bn=
,Tn=b1＋b2 ＋…＋bn,求Tn的值。

19．(本小题10分)

我校在筹办元旦艺术节前，对学生是喜欢曲艺还是舞蹈节目做了一次调查，随机抽取了100名学生，相关数据如下表所示

曲艺

舞蹈

总计



男生

40

18

58



女生

15

27

42



总计

55

45

100



若从喜欢舞蹈节目的45名学生中按性别分层随机抽取5名，则女生应该抽取几名；

在1）中抽取的5名学生中任取2名，求恰好有1名男生的概率。

20．(本小题12分)

一个多面体如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，

ED∥FB，且ED=1。

求证：平面ACE⊥平面ACF。

求多面体AED-BCF的体积。

21．(本小题12分)

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于
，它的一个顶点恰好是抛物线x2 =
y的焦点。

1）求椭圆C的方程；

2）点P(2,3)，Q(2,-3)在椭圆上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点。

（1）若直线AB的斜率为
，求四边形APBQ的面积的最大值；

（2）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由；

22．(本小题14分)

已知函数f(x)=ax3＋
＋bx(a,b为常数)

若y=f(x)的图象在x=2处的切线方程为x－y＋6=0，求函数y=f(x)的解析式；

在1)的条件下，讨论函数y=f(x)的图象与函数y =－
[f /(x)－9x－3]＋m的图象的交点的个数；

当a=1时，
,lnx ≤f /(x)恒成立，求实数b的取值范围。

2014-2015下学年度黄石市有色一中高二期中考试

数学（文科）参考答案

（考试时间2015.04.23）

一选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

B

C

B

D

C

D

D

A

A

C





二填空题

13．4+3i. 14.
. 15.
16. 1)6 2)

三解答题

17．(本小题10分)

1）f(x)=cos(2x+
)+1

∵x∈R,∴f(x)max=2

当2x+
=2k，即x=k-
时，f(x)取得最大值，由此可得使f(x)取得最大的x的集合是：{x|x=k-
，k∈Z}

2)根据平移变换，得

g(x)=f(x-
)=cos(2x-
)+1

由2k≤2x-
≤2k+，得 k+
≤x≤k+

所以函数g(x)的单调递减区间是[k+
，k+
]， k∈Z

18. （本小题12分）

1)(1)证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1 ，又an+2Sn-Sn-1=0，则有

Sn-Sn-1 +2Sn-Sn-1=0 ①

若Sn=0,则a1=S1=0与a1=
矛盾，故Sn ≠0.

由①，得
=2，又
=2

所以数列{
}是以2为首项，公差为2的等差数列。

（2）由（1）可得，
=2+2(n-2)=2n, Sn=

当n≥2时, an=－2Sn-Sn-1= －
,而n=1时，a1=

故

2) bn=
=

∵Tn=b1＋b2 ＋…＋bn=1+
+
+…+
+
①

2Tn= 2+
+
+…+
+
②

∴②－①,得Tn=3+
+
+…+
-
=4-

故Tn=4-

19 .（本小题10 分）

1)由表中数据可知，女生中应抽取的学生人数是

27×
=3（名）

2)记抽取的5名学生中，2名男生用A、B表示，3名女生用a,b,c表示。则

从5名学生中，任取2名的所有等可能的情况有10种，它们是AB，Aa，Ab，

Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc。其中恰有一名男生共有6种等可能的情况。

由上可知，恰有一名男生的概率是

P=

20 （本小题12 分）

1)连接BD，AC与BD交于点O，连接OE，OF。

∵四边形ABCD是四边形ABCD是正方形， FB⊥平面ABCD，ED∥FB

∴DE⊥平面ABCD，AE=CE，

OE⊥AC ①

又∵DE=1，CD=2，则

OE=
，OF=
，EF=3

∴OE2+OF2=EF2,则OE⊥OF ②

由①，②得，OE⊥平面ACF

∴平面ACF⊥ACE

2)由1）可知，三棱锥E-ACD，三棱锥F-ABC的高分别是DE，BF。且

AC⊥平面BDEF，故

多面体ADE-BCF的体积V=

而
，
，
=2

∴多面体ADE-BCF的体积V=4

21 （本小题12分）

1）设椭圆C的标准方程是：
(a>b>0).则

b=
；由
=
,a2=b2+c2,得a=4;

故椭圆C的标准方程是：

2）（1）设A(x1, y1), B(x2, y2)，直线AB的方程是y=
x+t,代入C得

x2+tx+t2-1=0

由于直线AB与C有两个不同交点，则判别式△>0, 解得－4

由韦达定理得，x1+x2=－t, x1x2=t2-12

∴| x1 －x2|=
=

∴四边形APBQ的面积S=
|PQ|| x1 －x2|=3
（－4

∵－4

∴四边形APBQ 的面积的最大值为12

(2)当∠APQ=∠BPQ时，直线AP，BP的斜率之和为零；

设直线PA的斜率为k, 则直线BP的斜率为-k;

∵直线PA的方程：y-3=k(x-2),代入椭圆C的方程得

(3＋4k2)x2＋8(3－2k)x＋4(3-2k)2 －48=0

∴x1 +2=
, 同理可得x2 +2=

x1+x2=
，x1-x2=

kAB=
=

由此可知，直线AB的斜率是一个定值

22．（本小14分）

1）a=-1,b=3,f(x)=-x3+
x2+3x

2)原问题等价于方程

m=－x3+x2+x的根的个数

也就是函数g(x)= －x3+x2+x的图象与直线y=m 的交点的个数问题。

又∵g /(x)=- 3x2+2x+1,则函数g(x)在（-∞，-
），（1，+∞）上单调递减，在（-
，1）上单调递增。

∴g(x)极小值=g(-
)=－
, g(x)极大值=g(1)=1

综合以上可得

当m<－
，或m>1时，一个交点；

当m=－
，或m=1时，两个不同的交点

当－

3）当a=1时，f(x)=x3-
x2+bx, f /(x)=3x2-x+b;

,lnx ≤f /(x)恒成立，等价于不等式b≥lnx-3x2+x在
上恒成立。

令h(x)= lnx-3x2+x(x>0)

∵h /(x)=
-6x+1=－
,则函数h(x)在(0,
)上单调递增，在(
,+∞)上单调递减。

∴函数h(x)的极大值是h(
)=－ln2－
,这也是函数h(x)的最大值。

由上可得，实数b的取值范围是[-ln2-
,+∞)