2014～2015学年度下学期期中联考

高 二 数 学（理）

命题人：荆州中学 陈静 王俊 审题人：龙泉中学 陈信金

本试题卷共4页，三大题22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．

1．命题“
”的否定为

A．
B．

C．
D．

2．已知随机变量
服从正态分布
，若
，则

A．
B．
C．
D．

3．已知平面的法向量为
，点不在内，则直线
与平面的位置关系为

A．
B．

C．
与相交不垂直 D．

4．为防止某种疾病，今研制一种新的预防药．任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：

经计算得
,则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。

A．0.025 B．0.10 C． 0.01 D． 0.05

参考数据：

气温（℃）

18

13

10

－1



销售量个）

24

34

38

64



5．某咖啡厂为了了解热饮的销售量（个）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：

由表中数据，得线性回归方程为＝
x
，，当气温为－4℃时，预测销售量约为

A．68 B．66 C．72 D．70

6．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是

A．
B．
C．10 D．20

7．下列选项中，说法正确的是

A．若命题“
”为真命题，则命题和命题均为真命题

B．
是
的必要不充分条件

C．
是
的充要条件

D．命题“若
构成空间的一个基底，则
构成空间的一个基底”的否命题为真命题

8．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆
有公共点
，且圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
或
D．以上都不对

9．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有

A．72种 B．54种 C．36种 D．18种

10．已知函数
有平行于轴的切线且切点在轴右侧，则的范围为

A．
B．
C．
D．

11．抛物线
的焦点为，准线为
，
是抛物线上的两个动点，且满足
．设线段
的中点
在
上的投影为
，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

12．在棱长为的正方体
中，
是
的中点，点在侧面
上运动．现有下列命题：

①若点总保持
，则动点的轨迹所在的曲线是直线；

②若点到点的距离为
，则动点的轨迹所在的曲线是圆；

③若满足
，则动点的轨迹所在的曲线是椭圆；

④若到直线
与直线
的距离比为
，则动点的轨迹所在的曲线是双曲线；

⑤若到直线
与直线
的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是抛物线．

其中真命题的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．假定一个家庭有两个小孩，生男、生女是等可能的，在已知有一个是女孩的前提下，则另一个小孩是男孩的概率是 ．

14．已知空间四点
共面，则= ．

15．已知
是圆
（为圆心）上一动点，线段
的垂直平分线交直线
于，则动点的轨迹方程为 ．

16．把长度
和宽
分别为
和2的长方形
沿对角线
折成
的二面角，则
等于 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知
恒成立，
方程
表示焦点在轴上的椭圆，若命题“且”为假，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知
展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大256；

（Ⅰ）求展开式中的所有无理项的系数和；

（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

19．（本小题满分12分）

已知点M到点
的距离比到点M到直线
的距离小4；

（Ⅰ）求点M的轨迹
的方程；

（Ⅱ）若曲线C上存在两点A，B关于直线l:
对称，求直线AB的方程．

20．（本小题满分12分）

医生的专业能力参数可有效衡量医生的综合能力，越大，综合能力越强，并规定: 能力参数不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力的频率分布直方图:

（Ⅰ）求出这个样本的合格率、优秀率；

（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出2名．

①求这2名医生的能力参数为同一组的概率；

②设这2名医生中能力参数为优秀的人数为
,求随机变量
的分布列和期望．

21．（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点， PA＝PD＝4，BC＝AD＝2，CD＝
．

(Ⅰ)求证：PA⊥CD；

(Ⅱ) 若M是棱PC的中点，求直线PB与平面BEM所成角的正弦值；

(Ⅲ)在棱PC上是否存在点N，使二面角N－EB－C的余弦值为
，若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右焦点分别是
，离心率为
，过
且垂直于轴的直线被椭圆
截得的线段长为
；

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C在第一象限内的任意一点，过点P且斜率为
的直线与椭圆相切，设
的斜率分别为
，试证明
为定值，并求出此定值；

（Ⅲ）若直线
与椭圆
交于不同的两点
，且原点O到直线l的距离为1，设
，当
时，求
的面积
的取值范围．

2014～2015学年度下学期期中联考

高二数学(理科)参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

D

B

A

B

D

B

B

A

C

C



二、填空题：

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17. 解：由题意：若为真，则有
对
恒成立

取“＝”
…………4分

若为真，则有
，即
或
………8分

由且为假，则、中至少一个为假

若、均为真，则

且为假，实数的取值范围是
…………10分

18.解：由条件得
，则
，则
的第
项为

…………4分

（1）由通项公式易知当
时，
为无理项

故无理项的系数和为
…………8分

（2）当
时，系数为
；当
时，系数为

当
时，系数最大，故系数最大的项为
……12分

19.解：（1）结合图形知，点M不可能在轴的左侧，即M到点
的距离等于M到直线
的距离M的轨迹是抛物线，
为焦点，
为准线M的轨迹方程是：
（或由
化简得
）……6分

（2）设
则
相减得

又
的斜率为－4则

中点的坐标为
，
即

经检验，此时，
与抛物线有两个不同的交点，满足题意. …………12分

20. 解：（1）合格率是：

优秀率是：
…………3分

（2）由题意知，这20名医生中，[20，30]有4人，[30，40]有6人，[40，50]有4人，[50，60]有3人，[60，70]有2人，[70，80]有1人

①
…………7分

②优秀的人数为：3+2+1＝6人

，

的分布列是：

0

1

2













 故的期望是
…………12分

21.解：（1）面
面

等腰
中，为
的中点，

面

又
在面
内的射影是
，

由三垂线定理知：
…………4分

（2）以为原点，分别以
的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，由
得

又

则
，又

设平面
的一个法向量为

则

令
则

又

设直线
与平面
所成角为

则
…………8分

（3）假设在棱
上存在点
，使二面角
的余弦值为

设
，则

又
，设平面
的一个法向量为

则

令

又
为平面
的一个法向量

则
解得
（负值舍）

故存在点
为棱
的靠近的三分点符合条件. …………12分

22.解：（Ⅰ）椭圆方程为
…………3分

（Ⅱ）设点的坐标为

则
，又由
得

则
，又

，故
……7分

（Ⅱ）方法二：设
与
相切于点

则