孝感高中2014—2015学年度高二下学期期中考试数学试题（理科）

命题人：蒋志方 考试时间：120分钟 分值：150分

参考公式：

一、选择题：共12小题，每小题5分，共6
0分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合的.

1．已知ξ～B（n，p），且
，
，则p等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知空间向量
，
，
，则下列结论正确的是（ ）

A．a∥c且a∥b B．a⊥b且a⊥c C．a∥c且a⊥b D．以上都不对

3．已知三个正态分布密度函数
（
，
）的图象如图所示，则（ ）

A．
，

B．
，

C．
，

D．
，

4．设
，则
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．式子
等于（）．

A．
B．
C．
D．

6．设随机变量
的分布列为
, 则实数
的值为（ ）

A．1 B．
C．
D．

7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计



爱好

40

20

60



不爱好

20

30

50



总计

60

50

110



由
计算出
．

0．050

0．010

0．001





3．841

6．635

10．828





并参照附表，得到的正确结论是（ ）

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

8．学校体育队共有5人，其中会打排球的有2人，会打乒乓球的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会打排球又会打乒乓球的人数，则随机变量ξ的均值
（ ）

A．
B．
C．
D．1

9．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（ ）种

A．72 B．60

C．48 D．24

11．已知
、
为双曲线
：
的左、右焦点，
为双曲线
上一点，且点
在第一象限. 若
，则
内切圆半径为（ ）

A．1 B．
C．
D．2

12．设数列
共有
项
,且
，对于每个
均有
.当
时，满足条件的所有数列
的个数为（ ）

A．215 B．512 C．1393 D．3139

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知随机变量
, 且
, 则
　　　.

14．现有3本不同的数学书，2本不同的物理书和1本化学书，全部排放在书架的同一层，

要求使数学书都相邻且物理书不相邻，一共有　 　种不同的排法。（用数字作答）

15．若
，则

　　 　.

16．小明身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）已知
的展开式的二项式系数之和是
的展开式的二项系数之和的32倍. 求
的展开式中：

（1）常数项；（2）系数最大的项．

18．（本小题满分12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人.（以下问题用数字作答）

（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的情形？

（2）这6人同时加入6

项不同的活动，每项活动限1人，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？

（3）将这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员；求丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率．

19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P -ABCD的底面ABCD是矩形，

AB＝2，BC＝，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD.

（1）求证：PD⊥AC；

（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E -BD -A的大小为45°？

若存在，试求的值，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）某苗木公司要为一小区种植3棵景观树，每棵树的成本为1000元，这种树的成活率为，有甲、乙两种方案如下；

甲方案：若第一年种植后全部成活，小区全额付款8000元；若第一年成活率不足，终止合作，小区不付任何款项；若成活率超过，但没有全成活，第二年公司将对没有成活的树补种，若补种的树全部成活，小区付款8000元，否则终止合作，小区付给公司2000元．

乙方案：只种树不保证成活，每棵树小区付给公司1300元．

（1）若实行甲方案，求小区给苗木公司付款的概率；

（2）公司为获得更大利润，应选择哪种方案？

21．（本小题满分12分）已知
为椭圆
：
的右焦点，椭圆
上任意一点
到点
的距离与点
到直线
：
的距离之比为
.

（1）求直线
方程；

（2）设
为椭圆
的左顶点，过点
的直线交椭圆
于
、
两点，直线
、
与直线
分别相交于
、
两点. 以
为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

22．（本小题满分12分）已知
.

（1）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围；

（2）求证：
对一切正整数
均成立.