2014—2015学年下学期高二期中考试数学试题（理）

时间：120分钟 分值：150分　　 命题牵头学校： 曾都一中

命题教师：　

学　　校：曾都一中　　枣阳一中　　襄州一中　　宜城一中

★祝考试顺利★

一 、选择题 (本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．命题“存在实数，使＞1”的否定是（ ）

A．对任意实数，都有＞1 B．不存在实数，使≤1

C．对任意实数，都有≤1 D．存在实数，使≤1

2．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)

A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)

C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)

3．
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知点
及抛物线
上一动点
，则
的最小值是（ ）

A. 2 B.3 C.4 D.

5．已知

，

，则

的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，点Ｅ、F分别是A1B1、A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BＥ与AF所成的角的余弦值是( )

A. 　 B.  C. 　 D. 

7．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x的值为( )

A.－4 B.1 C.10 D.11

8．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)

A. x±y＝0 B. x±y＝0 C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0

9．已知椭圆E：＋＝1 (a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

10．双曲线C：
的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－4，－2]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分）。

11．在空间中，

（1）若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线；

（2）若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.

以上两个命题中，逆命题为真命题的是_____________（只填序号）

12．已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB，AC．M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且
，现用基向量
表示向量
，并设
，则
______．

13．已知P是抛物线C：
上一点，则点P到直线
的最短距离为______．

14．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足．点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于 ________.　

15．已知椭圆E:

与双曲线D:
(a>0，b>0)，直线
：
与双曲线D的两条渐近线分别交于点A，B.若椭圆E的右焦点F在以线段AB为直径的圆内，则椭圆的离心率的取值范围是________.　

三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤）．

16．（本小题满分12分）

已知命题P:
表示双曲线；命题q：
（
）,若
是
的充分非必要条件，试求实数的取值范围．

17．（本小题满分12分）

如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．

(1)求证：EF⊥CF；

(2)求
与
所成角的余弦值.

18.（本小题满分12分）

设命题p：“直线x+y-m=0与圆
不相交”，命题q：“
有一正根和一负根。”如果pq为真且pq为假，求m的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知抛物线C:
，过点K（
,0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D，且直线BD与x轴相交于点P（m,0）,求m的值.

20. （本小题满分13分）

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2， AB = 1，F为CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求直线AC与平面CBE所成角正弦值；

（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．

21. （本小题满分14分）

已知椭圆C：
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线
与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，若过点
的直线
与椭圆相交于不同的两点
和,且满足
(O为坐标原点)，求实数的取值范围.

2014—2015学年下学期高二期中考试数学（理）

参考答案

一、选择题

1、C 2、B 3、B 4、A 5、D 6、A 7、D 8、A 9、Ｄ 10、C

二、填空题

11、（2） 12、

13、

14、
15.

三、解答题(若不同于参考答案，可根据步骤酌情给分）

16. 解：由命题P得
∴
4分

由命题q得∴
5分

由题意及逆否命题的等价性可知
，即
7分

∴由
（不同时取等号）及
得
11分

∴所求m的取值范围为
12分

17．(1)证明：建立如图所示的空间直有坐标系D-xyz， 1分

则D(0，0，0)，E(0，0，
)，C(0，1，0)，F(
，
，0)，G(1，1，
) 3分

所以
＝(
，
，－
)，
=(
，－
，0)，
=(1，0，
)，

=(0，－1，
)．4分 因为

，5分

所以
，即EF⊥CF． 6分

(2)解：因为
， 8分

，

． 10分

所以
12分

18．解：对命题P：

由x+y-m=0和

得

则
，∴

∴P为真时
3分

对命题q：则有题意得

得

∴q为真时
6分

由题意可知P与q有且只有一个命题为真命题 7分

若P假q真时，
∩
=
9分

若P真q假时，
∩
=
11分

综述：
12分

19. 设A


D
，
的方程为

将
代入
中整理得
4分

从而
5分

∴直线BD方程为
即
8分

令y=0,得
=2，10分 即P(2，0) ∴m=2 12分

20． 解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．

又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，

因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE. ……………… 4分

（Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD

∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，

如图建立空间直角坐标系F—xyz,

∴直线AC与平面CBE所成角的正弦值为

（Ⅲ）平面ACD的一个法向量为
，则

∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．………………13分

21. 解：（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
,

∴圆心到直线
的距离

∵椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c,
代入*式得b=c=1 ∴

故所求椭圆方程为
5分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为
，设

将直线方程代入椭圆方程得：
………… 6分

∴

∴
7分

设
,
则
………………8分

当t=0时，直线l的方程为y=0,此时t=0，
成立，故，t=0符合题意。

当
时

得

∴


…………… 10分

将上式代入椭圆方程得：

整理得：
12分

由
知

综上所以t∈（-2，2）…………… 14分