宜昌金东方高级中学2015年春季学期期中考试高二数学试卷（理科）

考试时间：120分钟 满分150分

一.选择题：(共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1、在复平面内，复数
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．方程
不可能表示的曲线为（ ）

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

3.下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）

A．半径为圆的面积
，则单位圆的面积
；

B．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；

D．由平面直角坐标系中圆的方程为
，推测空间直角坐标系中球的方程为
．

设
，若函数
，(
)，有大于零的极值点，则（ ）

A、
B、
C、
D、

5. 已知
，命题
，命题
，则是的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6． 如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、

侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的

四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.过抛物线
的焦点作直线
，交抛物线于A、B两点。若线段AB的中点的横坐标为3，则AB的长度为（ ）

A.8 B.7 C.6 D.5

8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）

第8题图 第9题图

9．如下图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，，

0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则向量
的坐标为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知抛物线方程为
，直线
的方程为
，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为
，P到直线
的距离为
，则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

11．在直三棱柱
中,
,则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．
是定义在
上的单调递减函数，若
的导函数存在且满足
，则下列不等式成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13. 已知命题“彐x∈R，2x2+ax ≤ ”是假命题，则a的取值范围是_____________.

14.由曲线
与直线
所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________;

15、如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f（n），则：

（1）f（5）＝ ； （2）f（n）＝ ．

第14题图 第15题图

16.已知直线
与双曲线
的右支相交于不同的两点，则
的取值范围是 .

三．解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17．（本小题满分10分）已知命题：
，命题：
；若命题
是假命题，求实数的取值范围．

18.（本小题满分12分）如下图，飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°的方向上，相距4km，P为航天员着陆点．某一时刻，在A地接到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，因此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s．

求∠BAP的大小．

19．（本小题满分12分）函数

（1）
时，求
最小值；

（2）若
在
是单调减函数，求取值范围．

（本小题满分12分）如图,等边
与直角梯形ABCD垂直,
,
,

,
.若E,F分别为AB,CD的中点.

(1)求
的值.

(2)求面SCD与面SAB所成的二面角（锐角）大小.

（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
,右焦点为
,斜率为的直线
与椭圆
交于
两点,以
为底边作等腰三角形,顶点为
.

求椭圆
的方程;

(2)求
的面积.

22.（本小题满分12分）已知函数
.

（1）当
时，求
的极值；

（2）当
时，讨论
的单调性；

（3）若对任意的
恒有
成立，求实数的取值范围.

2014-2015学年度高二下学期期中考试

数 学（理）答 题 卡

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

D

A

C

C

C

A

B

B

D

D

A



填空题：

13
14

15（1）f（5）＝ 41 ；（2）f（n）＝
． 16 (
)

解答题：

17、

18、解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，……………2分

因为
，所以P在线段BC的垂直平分线上．又因为
，
，所以P在以A，B为焦点的双曲线
的左支上．……………6分

又BC的垂直平分线方程为
…………………………8分

联立两方程解得x＝－8．所以P
…………………………10分

，得∠PAB＝120°．……………………… 12分

19、解：（1）
时

时
时

单减，在
单增

时
有最小值1 ……………………………………………6分

（2）

在
为减函数，则

恒成立，
最小值 ……………………………………9分

令

则

……………………………12分

20、解：(1)在正
中
,

(也可用坐标计算)………6分

(2)建立如图所示的直角坐标系

则
,
,

设面SCD的法向量为

由

由

不妨设
则
,

面SAB的法向量为

面SCD与面SAB所成的二面角大小为
..………12分

21、解：(1)由已知得
,解得

于是

∴求椭圆
的方程为
…… 4分

(2)设直线
的方程为
,交点
,
中点

联立
,消元整理得
…… 5

于是

可得

由
………………………………………………（8分）

可得
,
,即

∵
为等腰三角形的底边,∴

∴
,解得
,符合要求 ……………………………（9分）

此时

所以

又点
到直线
的距离

故
的面积
………………（12分）

22、

解：（1）当
时，

由
,解得
.

∴
在
上是减函数，在
上是增函数.

∴
的极小值为
，无极大值. 3分

（2）
. 4分

①当
时，
在
和
上是减函数，在
上是增函数； 5分