高二（理科平行班）数学试题

＿＿班　　姓名＿＿＿＿＿＿＿

一、选择题：(本大题12题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目条件的．

1．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于
，因为是实数，所以
”，你认为这个推理过程是( )

A．大前提错误 　 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的

2．已知复数的共轭复数
（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 　 　B．第二象限　　　　C．第三象限 　　　D．第四象限

3．已知点
，其中
，
，则在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是（　 　）

A．
B.
　 C.
　 D.

4. 若随机变量
，则
( )

A．
B．
　 C．
D．

5．二项式
的展开式中的常数项是（　 ）

A． B. 　 C.
　 D.

6．设随机变量
的概率分布如右下，则
(　 　)

X

－1

0

1



P





p



A．
B.

C.
　 D.

7．若对任意实数，有
成立，

则
（　 ）

A．　　　　　　　B．
　　　　　　　C．
　　　　　 D．

8．设某批产品合格率为
，不合格率为
，现对该产品进行测试，设第
次首次测到正品，则
（　 　）

A．
B．
　 C．
D．

9．有
个座位连成一排，现有
人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法是（　　）种

A．
　　 B．
C．
　 　D．

10． 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于
度”时，假设正确的是（　　）

A．假设三个内角都不大于
度　　　　　B．假设三个内角都大于
度

C．假设三个内角至多有一个大于
度　　D．假设三个内角至多有二个大于
度

11．下面四个命题中，

① 复数
，则实部、虚部分别是
；

② 复数满足
，则对应的点集合构成一条直线；

③ 由向量
的性质
，可类比得到复数的性质
；

④为虚数单位，则
．

正确命题的个数是( 　 )

A．
　　　 　 B． 　　 　C． 　 　　 D．

12．数列
前项和为
，若
，则
等于（　　）

A．
　　　 B．
　　C．
　　 D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在答题卡相应横线上

13．为虚数单位，复数
的模是___________ ．

14．若一个样本空间
，令事件
，
，

则
___________ ．

15．在
的展开式中，
项的系数是__________．（用数字作答）

16．有
人担任
种不同的工作，现需调整，调整后至少有人与原来工作不同，则不同的调整方法有____________ 种．

三、解答题：(本大题共6小题，共74分)解答应写出文字说明，证明过程和解题过程．

17．（本小题满分12分）

已知复数
，
是实数，其中是虚数单位，
．

（1）求复数；

（2）若复数
所表示的点在第一象限，求实数的取值范围．







18．（本小题满分12分）

在二项式
的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．

（1）求展开式中各项的系数和；

（2）求展开式中的有理项．

19．（本小题满分12分）

三个元件
正常工作的概率分别为
，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路．

（1）在如图的一段电路中，电路不发生故障的概率是多少？

（2）三个元件按要求连成怎样的一段电路时，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时的电路图，并说明理由．

20．（本小题满分12分）

数列
中，
，前项的和记为
．

（1）　求
的值，并猜想
的表达式；

（2）　请用数学归纳法证明你的猜想．

21．（本小题满分12分）

安排5个大学生到
三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．

(1) 求5个大学生中恰有2个人去校支教的概率；

(2) 设有大学生去支教的学校的个数为
，求
的分布列．

22．（本小题满分14分）

(1)　证明：当
时，不等式
成立；

(2)　要使上述不等式
成立，能否将条件“
”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；

(3) 请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．



一、选择题： 1-12 A D B D C C C A C B B A

二、填空题： 13-16
；
；　
；
．

三、解答题：













18．解：（1） 在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，

∴
． ………………………3分

∴ 二项式
中，

令
，展开式中各项的系数和为
． ………………………6分

（2）通项公式为　
，r=0，1，2，…，8．

当
为整数，即
时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即
；

；

． ………………………12分

19．解：记“三个元件
正常工作”分别为事件
，则

（1）电路不发生故障的事件为
，

∴电路不发生故障的概率为

………………………6分

（2）如右图，此时电路不发生故障的概率最大．证明如下：

图1中电路不发生故障的事件为
，

∴电路不发生故障的概率为

，

∴

图2不发生故障事件为
，同理不发生故障概率为
，得证．

……………………12分

说明：漏掉图1或图2中之一扣1分

20．解：（1）∵　
　，

∴　
，　
，　

∴　猜想　
． ………………………6分

（2）证明：①　当
时，
，猜想成立；

②　假设当
时，猜想成立，即：
；

∴　当
时，

∴　
时猜想成立

∴　由　①、②得猜想
得证． ………………………12分

注：若没声明方法，也可用裂项求和法求得．

21．解：(1) 5个大学生到三所学校支教的所有可能为
种，

设“恰有2个人去校支教”为事件
，则有
种，∴
．

答：5个大学生中恰有2个人去校支教的概率
． ………………………4分

(2) 由题得：
， ………………………6分

人去同一所学校，有
种，

∴
，

人去两所学校，即分为4,1或3,2有
种，

∴
，

人去三所学校，即分为3,1,1或2，2, 1有
种，∴
．

∴
的分布列为



















………………………12分

22．解：（1）证明：左式－右式＝
,

∵　
，　　∴

，

∴　不等式
成立． ………………………4分

（2）∵　
，则对任何
且
，

式子
与
同号，恒成立，

∴　上述不等式的条件可放宽为
且
．……………………8分

根据（1）（2）的证明，可推知：若
且
，
，

则有　
． ………………………10分

证明：左式-右式

若
，则由
不等式成立；

若
，则由
不等式成立.

∴　综上得：若　
且
，
，
，

则有　
成立． ………………………14分

注：（3）中结论为：若
且
，
，

则有　
也对．