2014-2015学年度第二学期八县（市）一中期中联考高中二年

数学（理）科试卷

第一部分 选择题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.有一段推理是这样的“任何实数的平方都大于0，因为
，所以
”结论显然是错误的，是因为 （ ☆ ）

(A).大前提错误 (B).小前提错误

(C).推理形式错误 (D).非以上错误

2.定积分
等于 （ ☆ ）

(A)．－6 (B)．6 (C)．－3 (D)．3

3．某炼油厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时，原油温度（单位：
为
，那么当x=1时原油温度的瞬时变化率的是 （ ☆ ）

(A)．8 (B).
(C)．
(D).

4．有人认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理 （ ☆ ）

(A)．归纳推理 (B)．类比推理 (C)．演绎推理 (D)．反证法推理

5.下列求导运算正确的是 （ ☆ ）

(A)．(x＋)′＝1＋
(B)．
(C)．
(D)．(x2cos x)′＝－2xsin x

6．函数 f(x)＝2015x2＋lnx－x的极值点的个数是 （ ☆ ）

(A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．无数个

7. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ☆ ）

(A) 若
, 则
(B) 若
, 则

(C) 若
, 则
(D) 若
, 则

8.如右图元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 （ ☆ ）

(A)． (B)． (C)． (D)．

9．若函数
在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 ( ☆　)

(A)．[1，＋∞) (B). (C)．[1,2) (D).

10.已知函数
的图象如右图所示(其中
是函数
的导函数)，下面四个图象中
的图象大致是 （ ☆ ）

11.已知定义在
上的函数
，
为其导函数，且
恒成立，则 ( ☆ )

(A)
(B).

(C)
(D).

12．若定义在D上的函数
在点P（x0，h（x0））处的切线方程为
，当
时，若
在D内恒成立，则称P为函数
的“类对称点”，则
的“类对称点”的横坐标是 （　☆　）

(A)． 1 (B)．
(C)． e (D)．

第二部分 非选择题

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．复数
是纯虚数，则实数m的值为

14.若函数
的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为

15.设P是函数
图象上的动点，则点P到直线
的距离的最小值为

16.已知函数
，记
，
，…，
且
，对于下列命题：

①函数
存在平行于轴的切线； ②
；

③
； ④
．

其中正确的命题序号是____________(写出所有满足题目条件的序号）.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）

17．（本小题满分10分）

（1）已知
，求证
中，至少有一个数大于25；

（2）已知
，求证

18．（本小题满分11分）

已知实数
，函数
。

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
有极大值16，求实数的值。

19．（本小题满分11分）

已知数列
中，
，

（
）.

（1）计算
，
，
；

（2）猜想数列
的通项公式并用数学归纳法证明.

20.(本小题满分12分）设函数
.

（Ⅰ）试问函数
能否在
时取得极值？说明理由；

（Ⅱ）若
当
时，函数
与
的图像有两个公共点， 求c的取值范围.

21. ( 本题12分） 如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km， AD为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，△BEF的面积为S(单位:
).

(I)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;

(2)问：按上述要求隔离出的△BEF面积S能否达到3
?并说明理由.(说明：解答利用如图建立的平面直角坐标系)

22.（本小题满分14分）

已知函数
.

（I）若曲线
与曲线
在交点处有共同的切线，求的值；

（II）若对任意
，都有
恒成立，求的取值范围；

（III）在（I）的条件下，求证：
.

 2014—2015学年福州八县市一中高二下期中理科数学答案

一、选择、AACBC ADA B.C B B．

二、填空、13. 3 14.
15.
16、①③；

三、解答题

17（1）证明：假设结论不对，即
均不大于25，（2分）

那么，
，这与已知条件矛盾.（4分）

所以，
中，至少有一个数大于25. （5分）

（2）证法一 分析法

要证
成立.

只需证
成立，（2分）

又因
， 只需证
成立，

又需证
成立，

即需证
成立 （4分）

而
显然成立. 由此命题得证。（5分）

证法二 综合法

（2分）

由
，得
，

∴
，（4分）

∴
成立。（5分）

证法三 求差法

（3分）

∵
，

∴
（5分）

18．（Ⅰ）∵
∴
（2分）

令
得

∵
∴
（4分）

∵a>0，∴当

∴函数
的单调递增区间为
（6分）

当
，

∴函数
的单调递减区间为
…………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
时，取得极大值。 …………9分

即
解得
…………11分

19．解：（1）
．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分

（2）猜想

………………………………………5分

证明：①当
时，结论显然成立……………………………6分

②假设
时，结论成立，即
…………7分

那么当
时，

即当
时，等式成立．…………… …10分

由①②知，
对一切自然数都成立．……………………11分

20.解：(Ⅰ）由题意
，（1分）

假设在
时
取得极值，则有
，∴ =
,（3分）

而此时，
，函数
在x=-1处无极值（5分）

（Ⅱ）（Ⅱ）设
，则有
，∴
，

设
，

令
，解得
或
.（7分）

列表如下：

x

-3

(-3,-1)

-1

(-1,3)

3

(3,4)

4









+



0



-



0



+









-9



增





减



-9



增





由此可知：F（x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.

当x=-1时，F（x)取得极大值F（-1）=
；当x=3时，F（x)取得极小值

F（-3）=F（3）=-9，而F（4）=
.（10分）

如果函数
与
的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，

所以
或
.（12分）

21解 (1)点坐标为
．………………………………………1分

设边缘线
所在抛物线的方程为
，

把
代入，得
，解得
，

所以抛物线的方程为
．……………………2分

因为
，……………………………3分

所以过
的切线
方程为
．………………………5分

令
，得
；令
，得
，…

所以
，……

所以
，定义域为
．……………………7分

(2)
，……………………9分

由
，得
，

所以
在
上是增函数，在
上是减函数，所以
在
上有最大值
．……………11分

又因为
，

所以隔离出的△
面积不能达到3
．……………12分

22.（I）函数f（x）=alnx的定义域为（0，+∞），f′(x)=
，g′（x）=
．

设曲线y=f（x）与曲线g（x）=
交点（x0，y0），由于在交点处有共同的切线，∴
=
，…………2分

解得x0=4a2，a＞0．由f（x0）=g（x0）可得alnx0=
．联立
，解得
．……………4分

（II）对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，化为

a（x-lnx）≤x2- 2x．（*）．令h（x）=x-lnx，h′(x)=1-
=
，∵x∈[1，e]，∴h′（x）≥0，∴函数h（x）单调递增，∴h（x）≥h（1）=1．

…………6分

∴（*）式可化为a≤
，x∈[1，e]．

令F（x）=
．F′（x）=
．∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，2（1-lnx）＞0，∴当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，∴函数F（x）在x∈[1，e]上单调递增，∴F（x）≥F（1）=
= - 1，

∴a≤ -1．……………9分

（III）在（I）的条件下f（x）=
lnx．要证明xf（x）＞
-1．

即证明exlnx＞xe1-x - 2．…………10分令H（x）=exlnx，可得H′（x）=e+elnx=e（1+lnx），

令H′（x）＞0，解得x∈(
，+∞)，此时函数H（x）单调递增；

令H′（x）＜0，解得x∈(0，
)，此时函数H（x）单调递减．∴当x=
时，函数H（x）取得极小值即最小值，H(
)= - 1．令G（x）= xe1-x - 2，可得G′（x）=（1- x）e1-x，由G′（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数H（x）单调递增；由G′（x）＜0，解得x＞1，此时函数G（x）单调递减．∴当x=1时，函数G（x）取得极大值即最大值，G（1）= - 1．∴H（x）＞G（x），因此xf（x）＞
- 1．……………14分