东北育才高中部高二年级下学期第一阶段考试数学试卷

考试时间：120分钟 命题人：高二数学备课组 使用时间：4月16日

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．复数
的共轭复数是（ ）

A.
B.
C.
D.

2．用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是（ ）

A.三角形的内角至少有一个钝角 B.三角形的内角至少有两个钝角

C.三角形的内角没有一个钝角 D.三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角

3．复数
的虚部是（ ）

A． B．
C． D．

4．设是可导函数，且，则 （ ）

A． B． C．0 D.

5．用数学归纳法证明不等式
的过程中，由
递推到
时的不等式左边（ ）．

A．增加了项
B．增加了项

C．增加了“
”，又减少了“
” D．增加了
，减少了“
”

6.曲线
在点
处的切线的斜率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝
，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8． 已知是R上的单调增函数，则的取值范围是 （ ）

A. 　　　 B. C. 　　　　　D.

9．已知函数
的导函数为
，且满足关系式
，则
的值等于（ ）

A.
B.
C.
D.

10.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知
，定义
.经计算


…，照此规律，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

12．定义在
上的函数
，其导函数是
成立，则

A．
B．
C． D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）.

13. 如图,对大于或等于的正整数的次幂进行如下方式的“分裂” (其中
).例如
的“分裂”中最小的数是,最大的数是
；若
的“分裂”中最小的数是
,则最大的数是 ．

14. 已知函数
，若曲线
与曲线
在交点处有共同的切线，的值是 .

15. 若不等式
对
恒成立，则实数的取值范围是 .

16. 已知函数
,则下列说法正确的是 .

①当
时,函数
有零点 ②若函数
有零点,则

③存在
,函数
有唯一的零点 ④若函数
有唯一的零点,则

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17.（本小题满分12分）

如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知
为直径，且
km,
为圆心，
为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且
∥
．现在准备从经过
到建造一条观光路线，其中到
是圆弧
，
到是线段
.设
，观光路线总长为
.

（１）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（２）求观光路线总长的最大值.

（本小题满分12分）

已知数列{bn}的通项公式为bn＝
n∈N*,.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

19. （本小题满分12分）

设函数
,其中为正实数.

(l)若=0是函数
的极值点,讨论函数
的单调性;

若
在
上无最小值,且
在
上是单调增函数,求实数的取值范围;

（本小题满分12分）

已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.

当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；

猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

（本小题满分12分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）若
与
在
处相切，试求
的表达式；

（Ⅱ）若
在
上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ)证明不等式：


.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．

22．（本小题满分10分）

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，

且AD=
AC， AE=
AB，BD，CE相交于点F。

（1）求证：A，E，F，D四点共圆；

（2）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

（本小题满分10分）

在直角坐标系中，以原点为极点,错误！未找到引用源。轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，已知过点错误！未找到引用源。的直线错误！未找到引用源。的参数方程为

错误！未找到引用源。（为参数），直线
与曲线
分别交于
两点。

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若错误！未找到引用源。成等比数列,求错误！未找到引用源。的值．

24.（本小题满分10分）

对于任意的实数 (
)和
,不等式
恒成立,记实数
的最大值是.

求的值; (2)解不等式
.

附：一、选择题答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

B

C

B

C

B

C

D

D

A

A

D



填空题答案

13、271 14、
15、
16、①③④

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知
为直径，且
km,
为圆心，
为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且
∥
．现在准备从经过
到建造一条观光路线，其中到
是圆弧
，
到是线段
.设
，观光路线总长为
.

（１）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（２）求观光路线总长的最大值.

解．(1)由题意知，
， …………………2分

， …………… …3分

因为
为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且
，

所以

所以
，
…………………………………………5分

(2)记
,则
， ………………………………6分

令
，得
，

列表

x

(0，
)



(
，
)





＋

0

－



f (x)

递增

极大值

递减



所以函数
在
处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………10分

即
，

答：观光路线总长的最大值为
千米． ……………………………12分

18.（本小题满分12分）

已知数列{bn}的通项公式为bn＝
求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

解：　假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br，则只可能有2bs＝br＋bt成立．

∴2·s－1＝r－1＋t－1.

两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s，

由于r

故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．

19. （本小题满分12分）

设函数
,其中为正实数.

(l)若=0是函数
的极值点,讨论函数
的单调性;

若
在
上无最小值,且
在
上是单调增函数,求的取值范围;

解:(1) 由
得

的定义域为:

函数
的增区间为
,减区间为
------- 5分

(2)由

若
则
在
上有最小值

当
时,
在
单调递增无最小值

∵
在
上是单调增函数∴
在
上恒成立

∴
------- 10分

综上所述的取值范围为
-------- 12分

20.（本小题满分12分）

已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.

(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；

(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；

当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，

所以f(2)＜g(2)；

当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，

所以f(3)＜g(3)． ------- 5分

(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．

①当n＝1,2,3时，不等式显然成立．

②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，

即1＋＋＋＋…＋＜－，那么，当n＝k＋1时，

f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋，

因为－＝－＝＜0，

所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．

由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立． ------- 12分

（本小题满分12分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）若
与
在
处相切，试求
的表达式；

（Ⅱ）若
在
上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ)证明不等式：


.

解：（Ⅰ）由已知 且

得：

又


----------------2分

（Ⅱ）

在
上是减函数，

在
上恒成立. ------------------3分

即
在
上恒成立，由
，

得
------------------5分

（Ⅲ)由（Ⅰ）可得：当
时：

得：

------------------6分

当
时：
当
时：
当
时：

…… 当
时：
，

上述不等式相加得：

即：

① ------------------8分

由（Ⅱ）可得：当
时：

在
上是减函数

当
时：
即

所以
从而得到：
-----------------10分

当
时：
当
时：
当
时：

…… 当
时：
，

上述不等式相加得：

即

②

综上：


（
）--------12分

请考生在第22、23、2