山西大学附中2013年高三第一学期8月月考

数学试题（文）

考试时间：110分钟 满分：150分 考查内容：高中全部

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

1．满足
的复数
的共轭复数是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
的定义域为
，
的定义域为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
是实数，则“
或
”是“
且
”的（ ）

A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

4．已知
是
所在平面内一点，
，现将一粒红豆随机撒在
内，则红豆落在
内的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．如图所示，程序框图输出的所有实数对

所对应的点都在函数（ ）

A．
的图象上 B．
的图象上

C．
的图象上 D．
的图象上

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

如果
，那么三边长a、

b、c之间满足的关系是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．四棱锥
的三视图如右图所示,其中
，四棱锥
的五个顶点都在一个球面上，则该球表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．圆心在抛物线
上，且与该抛物线的准线和
轴都相切的圆的方程是（ ）

A.
B.

C.
D.

9．设
是定义在实数集
上的函数,满足条件
是偶函数,且当
时,
,则
,
,
的大小关系是（　　）

A．
B．

C．
D．

10．离心率为
的椭圆与离心率为
的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则
( )

A.
B.
C.
D.

11．已知
是偶函数，且
在
上
是增函数，如果
在
上恒成立，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

12.已知球的直径
，
是该球面上的两点，
，
，则三棱锥
的体积为（ ）

A.
B .
C .
D .

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。共20分。）

13．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．

一年级

二年级

三年级



女生

373







男生

377

370





14. 已知
为等比数列，
是它的前
项和。若
，且
与
的等差中项为
，则
= .

15.设
、
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为
，则
的最小值为 .

16. 下列命题中，真命题的序号为 .

（1）在
中，若
，则
；

（2）已知
，则
在
上的投影为
；

（3）已知
，
，则“
”为假命题；

（4）要得到函数
的图象，只需将
的图象向左平移
个单位．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本题满分12分）设△
的三边为
满足
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的取值范围．

18．（本题满分12分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成
五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．

（Ⅰ）求实数
的值及参加“掷实心球”项目

测试的人数；

（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；

（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．

19．（本题满分12分）如图，四棱锥
的底面是直角梯形，

，
，
和

是两个边长为
的正三角形，
，

为
的中点，
为
的中点．

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求证：
平面
；

(Ⅲ)求直线
与平面
所成角的正弦值．

20．（本题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，且过点
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点C（-1，0）且斜率为
的直线
与椭圆相交于不同的两点
，试问在
轴上是否存在点
，使
是与
无关的常数？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

21．(本小题满分12分) 设函数
，其中
为常数。

（Ⅰ）当
时，判断函数
在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数
有极值点，求
的取值范围及
的极值点。

22.（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆
的参数方程
为参数）．以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆
的交点为
,与直线
的交点为
，求线段
的长．

23.（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数

(I)若不等式
的解集为
，求实数
的值；

(II)在(I)的条件下,若
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范

围.

山西大学附中2013年高三第一学期8月月考

数学答案

1． D． 2． C． 3 B 4 D 5 D. 6.C (文B) 7.A 8.B 9.A 10.D 11.D 12.C

13. 16 14.31 15.2 16.(1)(3)

17．【解析】：（1）
， 1分

所以
， 2分

所以
， 3分

所以

所以
， 4分

即
5分

所以
，所以
6分

（2）（2）
=
7分

=

其中
9分

因为
，

所以
11分

所以
12分

18．解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为
.…………1分

比赛进行
局结束，且乙比甲多得
分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则
.
…………4分

（Ⅱ）由题意知，
的取值为
. ………5分

则
…………6分

…………7分

…………9分

所以随机变量
的分布列为



















………10分

则
…………12

（文科）解：（Ⅰ）由题意可知
，解得
.

所以此次测试总人数为
．

答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． …………………4分

（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为
，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为
． ……7分

（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．

由已知，测试成绩在
有2人，记为
；在
有6人，记为
．

从这8人中随机抽取2人有
，

共28种情况．

事件A包括
共12种情况．

所以
．

答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为
． …………………12

19 （Ⅰ）证明：设
为
的中点，连接
，则

∵
，
，
，∴四边形
为正方形，

∵
为
的中点，∴
为
的交点，

∵
，
，

∵

，

∴

，
，

在三角形
中，
，∴
，

∵
，∴
平面
；

(Ⅱ)方法1：连接
，∵
为
的中点，
为
中点，∴
，

∵
平面
，
平面
，∴
平面
.

方法2：由(Ⅰ)知
平面
，又
，所以过
分别做
的平行线，以它们做
轴，以
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得：
，
，

，
，
，
，

则
，
，
，
.

∴
∴
∵