2014届高三第一次月考试题

数 学（文科）

2013。09

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

已知全集
，集合
，
，则集合

A．
B．
C．
D．

2．如果函数
上单调递减，则实数
满足的条件是（ ）

A.
B．
C．
D．

3．设
为等比数列
的前
项和，已知
，
，则公比
（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4.在△
中，若
，
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 设
，且
，则
（ ）

A.
B.10 C.20 D.100

6．已知函数
，下面结论错误的是

A．函数
的最小正周期为
B．函数
是偶函数

C．函数
的图象关于直线
对称 D．函数
在区间
上是增函数

7．直线
与圆
的位置关系是 （ ）

A.相离 B .相切 C.相交 D.不确定

8. 给出如下三个命题：

①若“
且
”为假命题，则
、
均为假命题；

②命题“若
且
，则
”的否命题为“若
且
，则
”；

③在
中，“
”是“
”的充要条件。其中不正确的命题的个数是( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

9.设直线
与函数
的图像分别交于点
，则当
达到最小时
的值为

（ ）

A．1 B．
C．
D．

10．定义：若函数
的图像经过变换
后所得图像对应函数的值域与
的值域相同，则称变换
是
的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换
，其中
不属于
的同值变换的是

A．
，
将函数
的图像关于
轴对称

B．
，
将函数
的图像关于
轴对称

C．
，
将函数
的图像关于点
对称

D．
，
将函数
的图像关于点
对称

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，

11.若数列
的通项公式是
,则
.

12．若方程
在
内恰有一解,则实数
的取值范围是 .

13．已知双曲线

的一条渐近线方程是
，它的一个焦点与抛物线
的焦点相同，则双曲线的方程为　　　　　．

14.函数
是常数，
的部分图象如图所示，则

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分12分）已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若
,求
的值.

16. （本小题满分13分）在
中，
分别为角
的对边，

已知
，
，且
.

(1) 求角
；(2) 若
，
的面积
，求边
的值.

17. （本小题满分13分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

18. （本小题满分14分）设数列
，
满足
，且数列
是等差数列，数列
是等比数列。

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）是否存在
，使
，若存在，求出
，若不存在，说明理由。

19. （本小题满分14分）设
.

（1）如果
在
处取得最小值
，求
的解析式；

（2）如果
，
的单调递减区间的长度是正整数，试求
和

的值．(注：区间
的长度为
）

.20．（本小题满分14分）设
,函数
.

（1）讨论函数
的单调区间和极值;

（2）已知
和
是函数
的两个不同的零点,求
的值并证明:
.

2014届高三第一次月考试题

数 学（文科）答案

2013。09

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

已知全集
，集合
，
，则集合

A．
B．
C．
D．

2．如果函数
上单调递减，则实数
满足的条件是（ ）

A.
B．
C．
D．

3．设
为等比数列
的前
项和，已知
，
，则公比
（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4.在△
中，若
，
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 设
，且
，则
（ ）

A.
B.10 C.20 D.100

6．已知函数
，下面结论错误的是

A．函数
的最小正周期为
B．函数
是偶函数

C．函数
的图象关于直线
对称 D．函数
在区间
上是增函数

7．直线
与圆
的位置关系是 （ ）

A.相离 B .相切 C.相交 D.不确定

8. 给出如下三个命题：

①若“
且
”为假命题，则
、
均为假命题；

②命题“若
且
，则
”的否命题为“若
且
，则
”；

③在
中，“
”是“
”的充要条件。其中不正确的命题的个数是( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

9.设直线
与函数
的图像分别交于点
，则当
达到最小时
的值为

（ ）

A．1 B．
C．
D．

10．定义：若函数
的图像经过变换
后所得图像对应函数的值域与
的值域相同，则称变换
是
的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换
，其中
不属于
的同值变换的是

A．
，
将函数
的图像关于
轴对称

B．
，
将函数
的图像关于
轴对称

C．
，
将函数
的图像关于点
对称

D．
，
将函数
的图像关于点
对称

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，

11.若数列
的通项公式是
,则
.

12．若方程
在
内恰有一解,则实数
的取值范围是 .
.

13．已知双曲线

的一条渐近线方程是
，它的一个焦点与抛物线
的焦点相同，则双曲线的方程为　　　　　．【解】
．

14.函数
是常数，
的部分图象如图所示，则

答案：

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分12分）已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若
,求
的值.

解： (1)由已知,f(x)=

所以f(x)的最小正周期为2
,值域为

(2)由(1)知,f(
)=
所以cos(
).

所以

16. （本小题满分13分）在
中，
分别为角
的对边，

已知
，
，且
.

(1) 求角
；(2) 若
，
的面积
，求边
的值.

16. 解：(1) 依题知得
即
……3分

也就是
，又
，所以
………………………6分

(2)
，且
，所以
……………8分

又
得
.

17. （本小题满分13分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，

考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。

解：（I）由
，（*）

因为直线
与抛物线C相切，所以
解得b=-1。

（II）由（I）可知
，

解得x=2，代入
故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即

所以圆A的方程为

18. （本小题满分14分）设数列
，
满足
，且数列
是等差数列，数列
是等比数列。

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）是否存在
，使
，若存在，求出
，若不存在，说明理由。

解：（1）由题意得：

＝
； …3分

由已知
得公比

，

…6分

（2）


，

∴当
时，
是增函数。 又
， 所以当
时
，

又
，所以不存在
，使
。

19. （本小题满分14分）设
.

（1）如果
在
处取得最小值
，求
的解析式；

（2）如果
，