广州市2014届高三9月执信、广雅、六中三校联考

数学（理）试题

本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分 考试用时 120分钟

注意事项：

答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集
，集合
,
,则图中的阴影部分表示的集合为( )

A.
B.
C.
D.

2. 复数
（i是虚数单位）的共扼复数是( )

A．
B．
C．
D．

3. 等差数列{an}中，“a1＜a3”是“an＜an+1”的 ( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 已知
，若
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

5. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于 ( )

A.63 B. 31

C.127 D .15

6. 已知圆C：
的圆心为抛物线
的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为( )

A．
B．

C．
D．

7．将函数y＝2cos2x的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( )

A．y＝cos2x B．y＝－2cosx C．y＝－2sin4x D．y＝－2cos4x

[]

8. 函数
的定义域为D，若对于任意

，当
时，都有
，则称函数
在D上为非减函数，设函数
在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：

①
； ②
③
。

则
等于( )

A．
B．
C．
D．无法确定

二、填空题（本大题共7小题, 分为必做题和选做题两部分．每小题5分, 满分30分）

（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．

9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　

10.某小学对学生的身高进行抽样调查，如图，是将他们的身高（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图．若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为　　　　．

11. 已知实数
则
的最小值为_____

12.设
展开式的中间项，若
在区间
上恒成立，则实数
的取值范围是______

13. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合

A、B、C，其中
，
，
，若A、B、C中的元素满足条件：
，
，
1,2，…，
，则称
为“完并集合”.

（1）若
为“完并集合”，则
的一个可能值为 .（写出一个即可）

（2）对于“完并集合”
，在所有符合条件的集合
中，

其元素乘积最小的集合是 .

（二）选做题: 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴

为极轴建立极坐标系．曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标

方程为
，则
与
交点在直角坐标系中的坐标为 ____。

15. （几何证明选做题）

在△
中，
是边
的中点，点
在线段
上，且满足
，延长
交
于点
，则
的值为_____．

三、解答题: 本大题共6小题, 满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. (本题满分12分)

已知函数
,
.求:

(I) 求函数
的最小正周期和单调递增区间;

(II) 求函数
在区间
上的值域.

17. (本题满分12分)[]

在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
.

(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望;

(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

18. （本题满分14分）

如图,四棱柱
的底面
是平行四边形,且
,
,
,
为
的中点,
平面
.

(Ⅰ)证明:平面
平面
;

(Ⅱ)若
,试求异面直线
与
所成角的余弦值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角
的余弦值.

19.（本题满分14分）

已知数列
前n项和为
成等差数列.

（I）求数列
的通项公式；

（II）数列满足
，求证：

20.（本题满分14分）

已知椭圆
的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长

为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过右焦点F2 ，斜率为
（
）的直线
与椭圆
相交于
两点，A为椭圆的右顶点，直线
，
分别交直线
于点
,
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.求证:
为定值.

21、（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，讨论函数
在[
上的单调性；

（Ⅱ）如果
，

是函数
的两个零点，
为函数
的导数，

证明：

高三9月联考理科数学答案

三、解答题

18、

解(Ⅰ)依题意,

所以
是正三角形,

又

所以
,
…………2分

因为
平面
,
平面
,所以
…………3分

因为
,所以
平面
…………4分

因为
平面
,所以平面
平面
…………5分

(Ⅱ)取
的中点
,连接
、
,连接
,则

所以
是异面直线
与
所成的角 …………7分

因为
,
,

所以
,
,

所以
…………9分

(Ⅱ)由
即

解得

,

所以异面直线
与
所成角的余弦值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
,平面
的一个法向量为

又
,
设平面
的法向量
则
得
…………11分

设二面角
的平面角为
,且
为锐角

则

…………13分

所以二面角
的余弦值为
…………14分

20、

21、解：（Ⅰ）
， …………1分

易知
在
上单调递减， …………2分

∴当
时，
.………………3分

当
时，
在
上恒成立.

∴当
时，函数
在
上单调递减.…………5分