广州市2014届高三9月执信、广雅、六中三校联考

数学（文）试题

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

第一部分 选择题（共50分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知全集
,集合
,
,则集合
（　　）

A．
B．
C．
D．

2. 如果复数
为纯虚数,则实数
的值 ( )

A. 等于1 B. 等于2 C. 等于1或2 D. 不存在

3．
为假命题,则
的取值范围为（　　）

A．
B.
C.
D.

4．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图

（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（　　）

A．46，45，56 B．46，45，53

C．47，45，56 D．45，47，53

5．设
是两条不同直线,
是两个不同的平面,下列命题正确的是（　）

A．
且
则
B．
且
,则

C．
则
D．
则

6.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,
,正视图是边长为2 的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（ ）

A．4 B．
C．
D．2

7．若
是2和8的等比中项，则圆锥曲线
的离心率是（ ）

A．
B．
C．
或
D．

8．函数
的图像大致是( )

9．在平面直角坐标系中，若不等式组
（
为常数）所表示平面区域的面积等于2，则
的值为（ ）

A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

10．已知函数
在点（1,2）处的切线与
的图像有三个公共点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第二部分 非选择题（100分）

二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分

(一)必做题(11～13题)

11．已知向量
.

12．在
中，角
的对边为
，若
，则角
= .

13．数列
满足
表示
前n项之积,则
=_____________.

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14. （几何证明选讲选做题）如图所示，
是⊙
的两条切线，
是圆上一点，已知
，则
= .

15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线
的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
（
，曲线
、曲线
的交点为
，则弦
长为 .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

[]

16．（本小题满分12分）

已知向量

，函数

·
，且最小正周期为
．

（1）求
的值；

（2）设

，求
的值．

17.（本小题满分12分）

某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

18.（本小题满分14分）如图，在多面体
中，四边形
是矩形，
∥
，
，平面
.

（1）若
点是
中点，求证：
.

（2）求证：
.

（3）若
求
.

19.（本小题满分14分）

设
是正数组成的数列,
.若点
在函数
的导函数
图像上.

(1)求数列
的通项公式；

(2)设
,是否存在最小的正数
,使得对任意

都有
成立？请说明理由.

20.（本小题满分14分） 已知

（1）若
时，求函数
在点
处的切线方程；

（2）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；

（3）令
是否存在实数
，当
是自然对数的底）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由。

21.（本小题满分14分）

已知椭圆
方程为
，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为
.

求椭圆方程.

已知
为椭圆的左右两个顶点，
为椭圆在第一象限内的一点，
为过点
且

垂直
轴的直线，点
为直线
与直线
的交点，点
为以
为直径的圆与直

线
的一个交点，求证：
三点共线.

2014届高三9月联考·文科数学答案

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.

17.（本小题满分12分）

解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
×6=3; 第4组:
×6=2; 第5组:
×6=1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分

(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.

则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分

其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种, …………10分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
…………12分

19.（本小题满分14分）

解：（1）
…………1分

由点
在
图像上，得
……2分

整理得：
…………4分

∵
，∴
…………5分

∴
是首项为
=3，公差为2的等差数列.

∴
…………6分

（2）
…………9分

∴
…………10分

=
…………12分

∴
∴存在最小的正数
,使得不等式成立. …………14分

当
时，即
，
在
上恒成立，∴
在
上单调递减

∴
，
（舍去） …………11分

当
时，即
，令
，
，
，

∴
在
上单调递减，在
上单调递增

∴
，
满足条件 …………13分

综上所述，存在实数
，使
在
上的最小值是3 …………14分

又
∴
…………11分

…………11分
…………13分

即
∴
三点共线 …………14分