2014届安徽省示范高中高三第一次联考

文科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.B 【解析】

，

＝
，所以

，故选B．

2.C 【解析】f(0)＝1，f(f(0))＝f (1)＝2－1＝1．故选C．

3.C【解析】若
，结合图形可知，

．故选C．

4.B 【解析】
，∴
，又α∈
，

∴sin α＝
＝
．∴sin(π＋α)＝－sin α＝－．故选B．

5.D【解析】圆C的标准方程为
，直线l过定点（0,1），代入
，可知直线过圆上的点，所以直线与圆相切或相交．故选D．

6.D【解析】函数
与x轴有两个不同交点，即方程
有两个不同的解，由
知，
与
有两个不同的交点，结合图形可知
．故选D．

7.B【解析】S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝2(a4＋a5)＝0，又a4＝1，∴a5＝－1．∴
，又
，即
，∴
，
．所以
，所以
．

8.A【解析】f(x)的最小正周期
，故
．由
得
，由图可知A＝2．故函数f(x)的解析式为
．所以
．故选A．

9.B【解析】①样本容量为
，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为
，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③
，

[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝
×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s甲2＞s乙2，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求频率为＝0.4，⑤是真命题．

10.B【解析】由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，可得
，化简得
．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

11．0【解析】根据程序框图，当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
；…，即当i为奇数时S为－1，当i为偶数时S为0，因为
所以输出的S为0．

12.
【解析】由三视图知，此几何体是一个组合体，上面是
球，其半径为1，下面是半圆柱，底面半圆直径为1，高为2．所以组合体的体积为
．

13．4【解析】作出可行域如图，是三条直线围成的三角形区域．又
，

作直线
，向下平移此直线，当过点（2，0）时，
取得最大值2，所以
的最大值为
．

14．
【解析】三棱锥中两条相对的棱所在是直线是异面直线，共有3对，从6条棱中任取两条，利用列举法可知有15种取法，∴取到两条棱异面的概率是
．

15．①②③④【解析】①中由已知可得四边形
是菱形，则
，所以
平面
，所以面
面
，①正确；又
∥
，∴
∥平面
；，②正确；当面
⊥面
时，三棱锥
的体积达到最大，最大值为
，③正确；由面
面
，可知点
在面
上的射影在线段
上，所以④正确；在旋转过程中
与直线
始终异面，⑤不正确．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（Ⅰ）

．……………………2分

因为点
在函数
的图像上，所以
，

解得
． ……………………4分

∴
．

由
，
，得
，

∴函数
的单调增区间为
． ……………………6分

（Ⅱ）

．

∵当
时，
取得最大值，

∴
，∴
． ……………………8分

由余弦定理可知

．

∴
，又
．

∴
的取值范围是
． ……………………12分

17．解：（Ⅰ）由茎叶图可知分数在[50,70) 范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，

∴
，b＝3． ……………………4分

从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有13人，

所以估计全校数学成绩及格率为
． ……………………6分

（Ⅱ）设表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为
， ……………………7分

则选取学生的所有可能结果为：

,
，基本事件数为10，…………………9分

事件“2名学生的平均得分大于等于130分” ，也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所以可能结果为：（118,142），（128,136），（128,142），（136,142），

共4种情况，基本事件数为4， ……………………11分

所以
． ……………………12分

18．解：（Ⅰ）如图可知五面体是四棱锥
，∵侧面
垂直于底面
，

∴正三角形
的高
就是这个四棱锥
的高，

又
，
．

于是

．…………………4分

（Ⅱ）当点D为AC中点时，
∥平面
．

证明：连结
连结
，∵四边形
是矩形，

∴
为
中点，

∵
∥平面
，平面

平面
＝DO，

∴DO∥AB1，∴D为AC的中点． ……………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当
∥平面
时，D为AC的中点．

∵△ABC为正三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，

由CC1⊥平面ABC，∴
，

又
，∴
⊥平面
，

又
平面
，∴平面
⊥平面
． ……………………12分

19.解：（Ⅰ）当
时，
，则
， ……………………2分

∵函数
是偶函数，∴
， ……………………4分

∴函数
是偶函数的解析式为
……………………6分

（Ⅱ）∵
， ……………………7分

∵
是偶函数，∴不等式
可化为
， ……………………9分

又∵函数
在
上是减函数，∴
，解得：
，

即不等式的解集为
……………………12分

20．解：（Ⅰ）
，∴
， ……………………2分

即
，
，

∴数列
是等差数列． ……………………4分

由上知数列
是以2为公差的等差数列，首项为
， ……………………5分

∴
，∴
． ……………………7分

∴
．

（或由
得
）

由题知，

综上，
……………………9分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

， ……………………10分

∴
， ……………………12分

∴
． ……………………13分

21．解：（Ⅰ）设圆心C(a，b)，则A，C中点坐标为
， ……………………1分

∵圆心C与点A（2,1）关于直线4x＋2y－5＝0对称，

∴
，解得
， ……………………3分

∴圆心C(0，0)到直线x＋y＋2＝0的距离
， ……………………4分

∴求圆C的方程为x2＋y2＝2． ……………………5分

设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，

∴
·
＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， ……………………6分

作直线l：x＋y＝0，向下平移此直线，当与圆C相切时x＋y取得最小值，这时切点坐标为（－1,－1），

所以
·
的最小值为－4． ……………………8分

（Ⅱ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，

PB：y－1＝－k(x－1)，由
，得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0．

因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得
，同理，
，

则

．

所以，直线AB和OP一定平行． ……………………14分