2014届安徽省示范高中高三第一次联考

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．C【解析】
，f(f(1))＝f(2)＝4＋2a,，由已知4a＝4＋2a，解得a＝2．故选C．

2．B【解析】由题意可知向量
的模是不变的，所以当
与
同向时
最大，结合图形可知，

．故选B．

3. C【解析】法一：从0开始逐一验证自然数可知
，
，要使
，
中必含有元素1，可以有元素2,3，所以
只有
.

法二：

，

＝

，所以集合S中必含元素1，可以是
，共4个．故选C．

4．B【解析】通过画树形图可知由1、2、3、4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有：1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为
．故选B．

5.C【解析】函数
与x轴的交点个数，为方程
的解的个数，即方程
解的个数，也即函数
交点个数，作出两个函数图像可知，它们有3个交点．故选C．

6.B【解析】
，又α∈
，

∴cosα＝
＝
．由
，
得

，所以
．故选B．

7.D【解析】法一：因为
，所以
，
，验证可知A,B,C均不符合，故答案为D.

法二：因为
，所以
，又
，即
，∴
，
．所以数列{bn}的通项公式是
，所以
．故选D．

8.A【解析】圆C的标准方程为
，圆心为（0,－1），半径为2；直线方程l的斜率为
，方程为
．圆心到直线的距离
．弦长
，又坐标原点O到AB的距离为
，所以△OAB的面积为
．故选A．

9．B【解析】①由系统抽样的原理知抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,

7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，①是假命题；

②数据1,2,3,3,4,5的平均数为
，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③由题可知样本的平均值为1，所以
，解得a＝－1，所以样本的方差为
[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，标准差为
，③是假命题；

回归直线方程为
过点
，把（1,3）代入回归直线方程为
可得
．④是真命题；

⑤产品净重小于100克的频率为(0．050＋0．100)×2＝0．300，设样本容量为n，则
＝0．300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0．100＋0．150＋0．125)×2＝0．75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0．75＝90．⑤是真命题．

10．C【解析】作出函数
的图像，然后作出
关于直线
对称的图像，与函数
的图像有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

11．1007【解析】根据程序框图，

，输出的S为1007．

12.
【解析】由三视图知，此几何体是一个组合体，上面是
球，其半径为1，下面是半圆柱，底面半圆直径为1，高为2．所以组合体的体积为
．

13．
　【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．

当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值4，即4a＋6b＝4，即
．

所以
．

14．1【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(4＋x)＝f(－x)．∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(x＋4)，

∴f(2014)＝f(4×503＋2)＝f(2)＝f(－2)＝log33＝1．

15．①②③④【解析】①中由已知可得四边形
是菱形，则
，所以
平面
，所以面
面
，①正确；又
∥
，∴
∥平面
；，②正确；当面
⊥面
时，三棱锥
的体积达到最大，最大值为
，③正确；由面
面
，可知点
在面
上的射影在线段
上，所以④正确；在旋转过程中二面角A′-DE-F大小的范围是
，⑤不正确.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（Ⅰ）

． …………2分

因为点
在函数
的图像上，所以
，解得
．… 4分

∴
．

由
，
，得
，

∴函数
的单调增区间为
． …………6分

（Ⅱ）

．

∵当
时，
取得最大值，

∴
，∴
． …………8分

由余弦定理可知

．

∴
，又
．

∴
的取值范围是
． …………12分

17．【解析】（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，

∴
，b＝3． …………2分

又分数在[110,150)范围内的频率为
，

∴分数在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4，

∴分数在[90,110)范围内的人数为20×0.4＝8，

由茎叶图可知分数[100,110)范围内的人数为4人，

∴分数在[90,100)范围内的学生数为8－4＝4（人）． …………4分

从茎叶图可知分数在[70,90]范围内的频率为0．3，所以有20×0．3＝6（人），

∴数学成绩及格的学生为13人，

所以估计全校数学成绩及格率为
． …………6分

（2）设表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为
， …………7分

则选取学生的所有可能结果为：

,
，基本事件数为10， …………9分

事件“2名学生的平均得分大于等于130分”也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所以可能结果为：（118,142），（128,136），（128,142），（136, 142），

共4种情况，基本事件数为4， …………11分

所以
． …………12分

18．解：（Ⅰ）∵
是等边三角形，M是DE的中点，∴AM⊥DE， AM＝
． …………2分

∵在△DMC中DM＝1，∠CDM＝60°，
， …………3分

∴MC2＝42＋12－2×4×1·cos60°＝13，∴MC＝．

在△AMC中，AM2＋MC2＝(
)2＋(
)2＝42＝AC2，…………4分

∴△AMC是直角三角形．∴AM⊥MC．

又∵AM⊥DE，MC∩DE＝M，∴AM⊥平面BCD．

又∵AM平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCD．…………6分

（Ⅱ）取DC的中点N，连接FN，NB．

∵AC＝DC，F，N点分别是AC，DC的中点，∴FN∥AD．

又
平面ADE，
平面ADE，所以FN∥平面ADE． …………8分

∵点N是DC的中点，∴BC＝NC，

又∠BCN＝60°，∴△BCN是等边三角形，∴BN∥DE．

又
平面ADE，
平面ADE，所以BN∥平面ADE．

∵FN∩BN＝N，∴平面ADE∥平面FNB．

∵FB平面FNB，∴FB∥平面ADE． …………12分

19．解：（Ⅰ）若f(x)在R上为奇函数，则
， …………1分

…………2分

证明：由
，令

又

…………6分

（Ⅱ）
…………7分

∴
对任意x∈R恒成立．

又f(x)是R上的增函数，∴
对任意x∈R恒成立， …………9分

即

当
时显然成立；

当
时，由
得
．

所以实数m的取值范围是
． …………13分

20.解：（Ⅰ）设M（x，y），则
，

∴
，

即M点轨迹(曲线C)方程为
，即曲线C是
O． …………2分

连
∵
为切点，
，由勾股定理有：
．

又由已知
，故
．

即：
，

化简得实数a、b间满足的等量关系为：
，即
．（4分）

∴

＝
，

故当
时，
即线段PQ长的最小值为
…………7分

（另法）由点P在直线l：2x+y－3=0上．

∴
，即求点A到直线
的距离．

∴
（7分）

（Ⅱ）设
P的半径为，∵
P与
O有公共点，
O的半径为1，

即
且
． …………8分

而
， …………9分

故当
时，
． …………10分

此时
,
． …………11分

得半径取最小值时
P的标准方程为
． …………13分

（另法）
P与
O有公共点，
P半径最小时为与
O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线
与l的交点P0．

．

又
，（10分）

解方程组
，得
．即
，

∴所求
P标准方程为
．（13分）

21．解：（Ⅰ）由题意知：
，
，

∴
；

又
，∴数列
是以
为首项，2为公比的等比数列． …………4分

∴
，即
； …………6分

∴数列
的通项公式为
； …………7分

（Ⅱ）由
两边同取倒数可知，
，即
，所以

或
=

＝
； …………10分

∴
＝
=
． …………13分