山西大学附中

2013-2014学年高三（上）九月

数学（文科）试题

（考试时间：90分 满分：150分）

一、选择题（每小题6分，共72分）

1． 若
，则不等式
的解集为 （ B ）

A．
B．

C．
D．

2． 等比数列
的各项为正，公比
满足
，则
的值为 （ D ）

A．
B．2 C．
D．

3． 在数列
中，
，前n项和
，其中a、b、c为常数，则
（ A ）

A．
B．
C．
D．

4． 已知函数
，满足
，
为正实数，则
的最小值为（ D ）

A．
B．
C．0 D．1

D 解析：
，解得
，

∴
，当
时，

5． 若函数
满足
，且
时，
，则函数

的图象与函数
的图象的交点的个数为 （ C ）

A．3 B．4 C．6 D．8

6．在空间中，若
、
表示不同的平面，
、
、
表示不同直线，则以下命题中正确的有　（ B ）

①　若
∥
，
∥
，
∥
，则
∥

②　若
⊥
，
⊥
，
⊥
，则
⊥

③　若
⊥
，
⊥
，
∥
，则
∥

④　若
∥
，
，
，则
∥

Ahttp://www. / 　 ①④ 　　　Bhttp://www. / ②③ 　 　 Chttp://www. / ②④ 　　 Dhttp://www. / ②③④

7．
是曲线
上任意一点，则
的最大值是 （ A ）

（A）36 （B）、6 （C）、26 （D）、25

8． 已知函数
则
的大致图象是 （ C ）

9．椭圆
的一个焦点坐标为
，则其离心率等于 （ D　 ）

Ahttp://www. /　 2 　　　　　Bhttp://www. /
　　　　　　Chttp://www. /
Dhttp://www. /

10．设
是正实数，以下不等式 （ D　 ）

①
，②
，③
，④

恒成立的序号为

(A) ①、③　 (B) ①、④　 (C) ②、③　 (D) ②、④　

11.已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象 (　A　)

A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

12. 已知
为椭圆
的两个焦点，P为椭圆上一点且
，则

此椭圆离心率的取值范围是 ( C )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（每小题6分，共24分）

13．命题“
”的否定是__

_ ．

14．已知向量
，
，
，若
∥
，则
=___ 5 ．

15. 如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，将此正方形

沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为
；

16．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是 钝角 三角形。

三、解答题：

17．（本小题共10分）已知
的三个内角
所对的边分别为
,
是锐角,且
．

（Ⅰ）求
的度数；

（Ⅱ）若
，
的面积为
，求
的值．

解：（Ⅰ）∵
，∴由正弦定理知：
,∵
是三角形内角，∴
,从而有
，∴
=
或
，

∵
是锐角，∴
的度数=
．

（Ⅱ）∵
∴
，
．

18．已知函数

（Ⅰ）若
，求
的极大值；

（Ⅱ）若
在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.

解：（Ⅰ）
定义域为

……………………………………………………………2分

令
由

由
…………………………………………………………4分

即
上单调递增，在
上单调递减

时，F(x)取得极大值
……………………6分

（Ⅱ）
的定义域为(0+∞)

由G (x)在定义域内单调递减知：
在(0+∞)内恒成立 ………8分

令
，则
由

∵当
时
为增函数

当
时

为减函数 ……………………………………10分

∴当x = e时，H(x)取最大值

故只需
恒成立，

又当
时，只有一点x = e使得
不影响其单调性

………………………………………………………………………………12分

19．四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧面
底面
．已知
，
，
，
．

（Ⅰ）证明
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值。

证明：（Ⅰ）作
，垂足为
，连结
，由侧面
底面
，得
底面
．

因为
，所以
，

又
，故
为等腰直角三角形，
，

由三垂线定理，得
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，依题设
，

故
，由
，
，
，得

，
．

的面积
．

连结
，得
的面积

设
到平面
的距离为
，由于
，得

，

解得
．

设
与平面
所成角为
，则
．

所以，直线
与平面
所成的我为

20．（本小题满分14分）

已知抛物线
，点P（-1，0）是其准线与
轴的焦点，过P的直线
与抛物线C交于A、B两点。

（1）当线段AB的中点在直线
上时，求直线
的方程；

（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积。

解：（1）因为抛物线的准线为
，所以
，

抛物线方程为
2分

设
，直线
的方程为
，（依题意
存在，且
≠0）

与抛物线方程联立，消去
得

…………（*）

，
4分

所以AB中点的横坐标为
，

即

所以
6分

（此时（*）式判别式大于零）

所以直线
的方程为
7分

（2）因为A为线段PB中点，所以
8分

由A、B为抛物线上点，得
，
10分

解得
，
11分

当
时，
；当
时，
12分

所以△FAB的面积
14分