2013-2014学年第一学期高三9月月考题

数学试题

（考查时间：90分钟）（考查内容：全部）

一、选择题：（每小题6分）

1. 已知集合
,则
( )

A.
B.
C.
D.

2．若复数
的实部与虚部相等，则实数
( )

A.
B.
C.
D.

3从甲、乙等
名志愿者中选出
名，分别从事
，
，
，
四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事
工作，则不同的工作分配方案共有

A.
种 B.
C.
种 D.
种

4
（
）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）

A. 120 B. 210 C. 252 D. 45

5设不等式组
表示的平面区域为
.若圆

不经过区域
上的点,则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

6、已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为(　　)．

A.
B.
C.
D.

7函数
的零点个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

8. 已知
关于
的一元二次不等式
的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的
的值之和是

A.13 B.18 C.21 D.26

9.已知函数
,其中
为实数,若
对
恒成立,且
.则下列结论正确的是

A.
B.

C.
是奇函数 D.
的单调递增区间是

10.抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是
，反复这样投掷，数列
定义如下：
，若
，则事件“
”的概率是（ ）

A．
B.
C.
D.

11. 已知
的外接圆半径为1，圆心为O，且
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知
为平面内两定点,过该平面内动点
作直线
的垂线,垂足为
.若
,其中
为常数,则动点
的轨迹不可能是 （　　）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

二、填空题（每小题6分）

13. 三棱锥
及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱
的长为___ ______.

14．观察下列算式：

，
，
，

，

… … … …

若某数
按上述规律展开后，发现等式右边含有“
”这个数，则
_______．

15. 已知
当
取得最小值时，直线
与曲线

的交点个数为

16.已知
是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的
，满足
，
，

考查下列结论：①
；②
为偶函数；③数列
为等比数列；④数列
为等差数列。其中正确的是_________ .

三、解答题

17.（本题满分12分）已知数列
满足
，
，数列
满足
.

（1）证明数列
是等差数列并求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前n项和
.

18.(本小题满分14分)

现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为
,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为
,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.

(I)求该射手恰好命中两次的概率;

(II)求该射手的总得分
的分布列及数学期望
;

19. （本题满分14分）

设
是抛物线

上相异两点，
到y轴的距离的积为
且
．

（1）求该抛物线的标准方程.

（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与
轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．

20.(本题满分14分)设
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直.

(1)求
的值;

(2) 若
，
恒成立，求
的范围.

(3)求证：
2013-2014学年第一学期高三9月月考题

数学试题答案

选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

 B

B

D

C

B

C

D

B

A

C



二、填空题

13.
14.
15. 2 16. _①③④_

三、解答题

17.解（1）证明：由
，得
，

∴
---------------------2分

所以数列
是等差数列，首项
，公差为
-----------4分

∴
-----------------6分

（2）
-------------------------7分

----①

-------------------②----------9分

①-②得

-----------------------------------11分

------------------------------------------12分

18.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件
,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件
,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件
,“该射手射击乙靶命中”为事件
.

由题意知,
,

所以

.………………………………………………………………………6分

(II)根据题意,
的所有可能取值为0,1,2,3,4.

,

.

,

,

,……11分

故
的分布列是

0

1

2

3

4

















……………………12分

所以
.………………………14分

19. 解：（1）∵　·＝0，则x1x2＋y1y2＝0，--------------------------1分

又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得

＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2　

--------------------------3分

又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．

所以抛物线的方程为:
------------5分

（2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝my＋a　　

联立方程组
　 　　　　　　　　　

消去x得y2－2my－2a＝0　　　　　　　　　

∴　
①　--------------------------------7分

设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR方程为x＝ny＋b,并设R(x3,y3)，

同理可知
②　　　--------------------------9分

　　由①、②可得

由题意，Q为线段RT的中点，∴　y3＝2y2，∴b=2a

又由（Ⅰ）知， y1y2＝－4，代入①，可得

－2a＝－4 　　∴　　a＝2．故b＝4．----------------------11分

∴

∴

.

当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值
--------------------14分

20.解：(1)
-----------------------2分

由题设
，

，
. -------------------------------4分

(2)
,
，
，即

设
，即
.

-------------------------------------6分

①若
，
，这与题设
矛盾.-----------------8分

②若
方程
的判别式

当
，即
时，
.
在
上单调递减，

，即不等式成立. ----------------------------------------------------------------------9分

当
时，方程
，其根
，
，

当
,
单调递增，
，与题设矛盾.

综上所述，
.------------------------------------------------------------------------10分ks5u

(3) 由(2)知,当
时,
时,
成立.

不妨令

所以
，

----------------------11分

---------------------12分

累加可得

------------------------14分