浙江省慈溪中学2014届高三第一学期10月份月考

数学（理）试题

选择题部分 (共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．已知集合
，
，则
=

A．
B．
C．
D．

2．已知
∈（
,
），sin
=
,则tan（
）等于

A． －7 B． －
C． 7 D．

3．设
，
是两条不同直线，
，
是两个不同平面，则下列命题错误的是

A．若
，
，则
B．若
，
， 则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

4. 设数列
和
分别为等差数列与等比数列，且
，
，则以下结论正确的是

A．
B．
C．
D．

5．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，

则该四棱锥的体积等于

A．
B．

C．
D．

6．设等差数列
的前
项和是
，

若
(
N*,且
)，则必定有

A.
，且
B.
，且

C.
，且
D.
，且

7．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象

A．向左平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向右平移
个单位

8. 在
中，
,
，则
面积为

A．
B．
C．
D．

9．已知函数

，

.

若函数
的零点为
，函数
的零点为
，则有　　　 　

A．
　　　　　　　 B．
　

C．
　　　　 D．

10．已知
，其中
，如果存在实数
,使
，

则
的值

A．必为正数 B．必为负数 C．必为非负 D．必为非正

非选择题部分 (共100分)

二、 填空题 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11. 已知
且
与
垂直，则实数
的为 .

12. 设关于
的不等式
的解集为
，且
，则实数
的

取值范围是 .

13. 已知函数
在（0， 1）上不是单调函数，则实数
的取值范围为 _____.

14. 已知实数
满足：
则
的取值范围是___________.

15．若正数
满足
，则
的最小值为 ．

16．设函数
的定义域为

,值域为
,若
的最小值为
,则实数
的值为 ．

17．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）

已知
分别是
的三个内角
的对边，
.

(1)求角
的大小；

（2）求函数
的值域.

19.(本小题满分14分)

用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2m2的正四棱锥形有盖容器（如下图）。设容器高为
m,盖子边长为
m,

(1)求
关于
的解析式;

（2）设容器的容积为V m3,则当h为何值时，V最大？

并求出V的最大值（求解本题时，不计容器厚度）.

20．(本小题满分14分)

已知数列
，
，
，
．

(1)求证：
为等比数列，并求出通项公式
；

（2记数列
的前
项和为
且
,求

．

21．(本小题满分15分)

如图,在梯形
中，
,

，
,平面
平面

,四边形
是矩形,
,点
在线段EF上

(1)求异面直线
与
所成的角;

(2)求二面角
的余弦值.

22．（本小题满分15分）

设
和
是函数
的两个极值点，

其中
，
．

(1) 求
的取值范围；

（2）若
，求
的最大值．

注：e是自然对数的底数

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡上．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

 D

 A

D

B

B

A

C

B

B

B



填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请把答案填在答题卡上．

11．
12.
13.
14.

15. 3 16.
17.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡上．

18．解：（I）由正弦定理，得：
……………………2分

即

故
……………………………4分

所以
…………………………………………6分

（II）
…………………………8分

…………………11分

…………13分

所以所求函数值域为
………………14分

19．(本小题满分14分)

20．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）由题意得
，得
． …………………1分

且
，
，

所以
，且
，所以
为等比数列． …………………3分

所以通项公式
． …………………5分

（Ⅱ）由
，当
时，得
； …………………6分

当
时，
， ①

， ②

①-②得
，即
． …………………9分

满足上式，所以
． …………………10分

所以


． …………………12分

所以

． …………………14分

21．解：（1）在梯形ABCD中,∵
,

∴四边形ABCD是等腰梯形,

且

∴
,∴

又∵平面
平面ABCD,交线为AC,∴
平面ACFE.

∴
平面FE.

∴异面直线
与
所成的角为900 ……………7分

（2）方法一;(几何法)取EF中点G,EB中点H,连结DG、GH、DH,

∵容易证得DE=DF,∴

∵
平面ACFE,∴
又∵
,∴

又∵
,∴

∴
是二面角B—EF—D的平面角.

在△BDE中

∴
∴
,

∴
又
∴在△DGH中,

由余弦定理得
即二面角B—EF—D的平面角余弦值为
………15分

方法二;(向量法)以C为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系

,
,
,
,

所以
,
,

分别设平面BEF与平面DEF的法向量为

,

所以
,令
,则

又
，显然
,令

所以
,
,设二面角的平面角为
为锐角

所以
……………15分

22．(Ⅰ)解：函数
的定义域为
，
．

依题意，方程
有两个不等的正根
，
（其中
）．故

，

并且
．

所以，

故
的取值范围是
． …………7分

(Ⅱ)解当
时，
．若设
，则

．

于是有

构造函数
（其中
），则
．

所以
在
上单调递减，
．

故
的最大值是
． …………15分