沧州市第一中学2013~2014学年高三第一次模拟测试

数学（文）

1.（2013.山西四校一联）设
是等差数列
的前
项和，若
，则
＝

A.1 B.－1 C. 2 D.

2.（2013.大纲全国）已知

且
则
的方程为

（A）
（B）
（C）
（D）

3.若函数

（A）
（B）
（C）
（D）

4.设
,当实数
满足不等式组
时，目标函数
的最大值等于2，则
的值是

A. 2 B.3 C.
D.

5.如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是

A.9 B.10 C.12 D. 18

6.已知函数
，若方程
有两个实数根，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

7.过抛物线
的焦点F作一直线l交抛物线于A、B两点，以AB为直径

的圆与该抛物线的准线l的位置关系为

A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定

8.（2013.嘉兴一中摸底）若函数
有两个零点
，其中
，那么在
两个函数值中 ( )

A．只有一个小于1 B．至少有一个小于1 C．都小于1 D．可能都大于1

9.已知抛物线

（A）
（B）
（C）
（D）

10.已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
为球
的直径，且
,

，
为等边三角形，三棱锥
的体积为
，则球
的半径为

A . 3 B. 1 C. 2 D. 4

11.已知
中，角A、B、C的对边分别为
、
、
，已知
，

则cosC的最小值为

A.
B.
C.
D.

12.抛物线
的焦点为
，点
为抛物线上的动点，点
为其准线上的动点，当
为等边三角形时，则
的外接圆的方程为

A..
B.

C.
D.

13.若正数
满足
,则
的最大值是

14.定义在R上的奇函数
满足：当
时，
，则在R上，函数
零点的个数为

15.已知
，
均为正数，
，且满足
，
，则
的值为

16.已知数列{
}的前
项和
满足
，
，则
的最小值为

17. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c．已知a=2c,且A-C=
．

(Ⅰ) 求
；(Ⅱ) 当b=1时，求△ABC的面积S的值

18.为了比较“传统式教学法”与我校所创立的“三步式教学法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”

（Ⅰ）若全校共有学生2000名，其中男生1100名，现抽取100名学生对两种教学方式的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？

（Ⅱ）下表1，2分别为实行“传统式教学”与“三步式教学”后的数学成绩：

表1

数学成绩

90分以下

90—120分

120—140分

140分以上



频 数

15

20

10

5



表2

数学成绩

90分以下

90—120分

120—140分

140分以上



频 数

5

40

3

2



完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为这两种教学法有差异.

班 次

120分以下(人数)

120分以上(人数)

合计(人数)



一班









二班









合计









参考公式:
,其中

参考数据:

P(K2≥k0)

0.40

0.25

0.10

0.05

0.010

0.005



k0

0.708

1.323

2.706

3.841

6.635

7.879





19. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
,过点
((2，(4)的直线
的参数方程为
（
为参数），直线
与曲线
相交于
两点．

（Ⅰ）写出曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（Ⅱ）若
，求
的值

20.如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
.

（Ⅰ）证明：
∥
；

（Ⅱ）若
求四棱锥
的体积

21.已知双曲线
离心率为
直线

（I）求
；

（II）

证明：

22.设函数

(1) 当
时，求
的单调区间；

(2) 若当
时，

恒成立，求
的取值范围

沧州市第一中学2013~2014学年高三数学一模参考答案

1~12 ACBDA BCBDC CB 13 2 14 3 15 根号三 16 -三分之一

17.

18.解：（Ⅰ） 设女生为x，则
， ………2分

解得
名，∴女生抽取
人． ………4分

（Ⅱ） 列联表如下：

班 次

120分以下(人数)

120分以上(人数)

合计(人数)



1班

35

15

50



2班

45

5

50



合计

80

20

100



 ………7分

K2=
………10分

由此可知，有99%的把握认为这两种教学法有差异． ………12分

19.解：(1) 由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)

∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0)………………………2分

直线l的普通方程为y=x-2…………………………………4分

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，

得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2

则有t1+t2=2(4+a), t1t2=8(4+a)……………………………6分

∵|PA|(|PB|=|AB|2

∴t1t2=(t1-t2)2, 即(t1+t2)2=5t1t2………………………………8分

∴[2(4+a)]2=40(4+a) a2+3a-4=0

解之得：a=1或a=-4(舍去)

∴a的值为1…………………………………………………10分

20.解：（Ⅰ）设
，连接EF，

………2分

∵
∴
………3分

∵
平分

为
中点，
为
中点，

∴
为
的中位线. ………4分

∵
∥

∴
∥
. ………6分

(Ⅱ)底面四边形
的面积记为
;

． ………9分

． ………12分

21.

22. 解：（1）当
时，

令
，得
或
；令
，得

的单调递增区间为

的单调递减区间为
………………………………………4分

（2）

令

当
时，
在
上为增函数.

而
从而当
时，
，即

恒成立.

若当
时，令
，得

当
时，
在
上是减函数，

而
从而当
时，
，即

综上可得
的取值范围为
. …………………………………………………12分