2013～2014学年度第一学期第一次单元检测

高三数学（文）试题

命题人：付令铎 2013年10月

选择题共60分

1. 若集合M=｛y| y=
｝，P=｛y| y=
｝， 则M∩P= （ ）

A｛y| y>1｝ B｛y| y≥1｝ C｛y| y>0｝ D｛y| y≥0｝

2. 设命题甲:
的解集是实数集R;命题乙:
,则命题甲是命题乙成立的 ( )

A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

3.若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 (　　)

A．(－1,1) B．(－2,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.函数
的单调递增区间是 （ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知a>0且a≠1，函数
，
，
在同一坐标系中的图象可能是（ ）

A B C D

7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)．

A. B. C. D.

8．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y＝sinx，则(　　)

A．ω＝2，φ＝　　　　 B．ω＝2，φ＝－

C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝

9．已知tanα＝2，则＝(　　)

A. B．－ C. D.

10如图，在△
中，
是边
上的点，且
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

11.在
中，
，则A的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

12． 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离(　　)

A．10海里 B．10海里

C．20海里 D．20海里

二、选择题共15分

13． 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

14． 若f(x)＝，0

15. 如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA

＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．

16．对于函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1(x∈R)给出下列命题：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在区间[，]上是减函数；③直线x＝是f(x)的图像的一条对称轴；④f(x)的图像可以由函数y＝sin2x的图像向左平移而得到．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上)．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. （12分）（1）已知集合A
，B=
，且
，求实数
的值组成的集合。

（2）设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足

若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

18． (12分)已知函数f(x)＝2sincos－sin(x＋π)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．

19.在△ABC中，角
的对边分别是
，已知
.

求
的值；

若
，求边
的值.

20.在
中，内角
的对边分别为
.已知
.

求
的值；

若
，
的周长为5，求
的长.

21.已知：函数
.

(1)试讨论函数
的单调性；

(2)若
，且
在
上的最大值为
，最小值为
，令
，求
的表达式.

22.设函数
，
.

（1）若
，求函数
在
上的最小值；

（2）若函数
在
上存在单调递增区间，试求实数
的取值范围；

（3）求函数
的极值点.

2013～2014学年度第一学期第一次单元检测

数学（文）答案

一、选择题：

C B C A D C A B D D C A

二、填空题

13．答案　－1 14．答案　f(a)

15. 答案　8 16．[答案]　②③

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（1）

①
；-------------------------------------------2分

②
时，由

-----------4分

所以适合题意的
的集合为
---------------------------------6分

(2)p是q的必要不充分条件，即q?p且p
q，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A
B，

又B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)； -------------8分

a<0时，A＝(3a，a)．

所以当a>0时，有解得1

当a<0时，显然A∩B＝?，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是1

18.解　(1)因为f(x)＝sin＋sin x

＝cos x＋sin x＝2＝2sin， --------6分

所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，

∴g(x)＝f＝2sin[＋]

＝2sin ---------------------8分

∵x∈[0，π]，∴x＋∈，

∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.

当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1. ------------------12分

19.解：（1）已知

整理即有：

又C为
中的角，

--------------------------- ------------6分

（2）

由（1）中有
及
得
，

又
，

-------------------------12分

20.解（1)由正弦定理得


所以
=
,

即
,即有
,即
,所以
=2. -----------------6分

(2)由(1)知
=2,所以有
,即
,又因为
的周长为5,所以
=5-3
,

由余弦定理得：
，即
，

解得
=1，所以
=2. -------------------12分

21．解：（1）当
时，函数
在
上为减函数；

当
时，抛物线
开口向上，对称轴为

∴函数
在
上为减函数，在
上为增函数

当
，抛物线
开口向下，对称轴为

∴函数
在
上为增函数，在
上为减函数.

（2）∵

由
得
∴
.

当
，即
时，

，故
；

当
，即
时，

，故
.

∴
.

22（1）
的定义域为
.

因为
，所以
在
上是增函数，

当
时，
取得最小值
.

所以
在
上的最小值为1. -----------------------4分

（2）
，

设
，

依题意，在区间
上存在子区间使得不等式
成立.

注意到抛物线
开口向上，所以只要
，或
即可.

由
，即
，得
，

由
，即
，得
，

所以
，

所以实数
的取值范围是
. ----------------------------------8分

解法二：
，

依题意得，在区间
上存在子区间使不等式
成立.

又因为
，所以
.

设
，所以
小于函数
在区间
的最大值.

又因为
，

由
解得
；

由
解得
.

所以函数
在区间
上递增，在区间
上递减.

所以函数
在
，或
处取得最大值.

又
，
，所以
，

所以实数
的取值范围是
.

（3）因为
，令

①显然，当
时，在
上
恒成立，这时
，此时，函数
没有极值点；

②当
时，

（ⅰ）当
，即
时，在
上
恒成立，这时
，此时，函数
没有极值点；

（ⅱ）当
，即
时，

易知，当
时，
，这时
；

当
或
时，
，这时
；

所以，当
时，
是函数
的极大值点；
是函数
的极小值点.

综上，当
时，函数
没有极值点；

当
时，
是函数
的极大值点；

是函数
的极小值点. -----------------------14分

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高三数学（文）答题纸

命题人：付令铎 2013年10月

注意事项：

⒈答题前，考生务必将本人班级、姓名、考号填写在相应位置．

⒉答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净．

⒊答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整、笔迹清晰．务必在题号所指示的答题区域内作答．

⒋保持答题纸清洁、完整．严禁在答题纸上作任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带．

题 号

二

三

卷Ⅱ总分







17

18

19

20

21

22





得 分



















阅卷人





















得分

评卷人











二、填空题（每小题4分）

13.

14.

15.

16.





得分

评卷人









三、17. （本小题满分12分）





评卷人









三、18. （本小题满分12分）





得分

评卷人









三、19. （本小题满分12分）





得分

评卷人









三、20. （本小题满分12分）





得分

评卷人









三、21. （本小题满分12分）





得分

评卷人









三、22. （本小题满分14分）