2014届高三上学期第一次阶段性评估检测

数学（理）试题

第I卷（共10题，满分50分）

一、选择题：（每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）．

1．函数
的定义域为（ ）

（A）．
（B）．

（C）．
（D）．

2．“
”是“
”成立的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

3．已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
（ ）

（A）．
（B）．

（C）．
（D）．

4．在等比数列
中，若
，
，则该数列前五项的积为（ ）

（A）．±3 （B）．3 （C）．±1 （D）．1

5．下列不等式一定成立的是（ ）

(A)．
(B)．

(C)．
(D)．

6．已知函数
=（ ）

（A）．2 （B）．
（C）．
（D）．

7．从5名男生，4名女生中选派4名参加一项活动，则至少有两名男生，1名女生的选派方法共有（ ）

(A)．
种 (B)．
种 (C)．
种 (D)．
种

8．已知函数
，若
，则函数
的零点个数是(　　)

(A)．4 (B) ．3 (C) ．2 (D) ．1

9．函数
的图象大致是（　　）

10. 若函数
有极值点
，且
，则关于
的方程
的不同实根个数是（ ）

(A) ．3 (B) ．4 (C) ．5 (D) ．6

第II卷（共11题，满分100分）

二、填空题：（每小题5分，共25分）．

11．已知i是虚数单位，复数
__________．

12．若某算法流程图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于 ．

13．某几何体的三视图如图所示，它的体积为____________．

14. 在长度为12cm的线段AB上任取一点C，现在一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20
的概率为 .

15．设函数
在其定义域D上的导函数为
，如果存在实数a和函数
，其中
对任意的
，都有
，使得
则称函数
具有性质
，给出下列四个函数：

①
； ②
；

③
； ④

其中具有性质
的函数为：__________________（把所有正确的判断都填上）．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

16．（本小题满分12分）

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为
,
,

，且
．

（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若
求

17（本小题满分12分）

已知等差数列
前三项的和为-3，前三项的积为8.

（1）求等差数列
的通项公式；

（2）若
，
，
成等比数列，求数列
的前n项的和.

18．（本小题满分12分）

某医院将一专家门诊已诊的1000例病人的病情及诊断所用时间（单位：分钟）进行了统计，如下表．若视频率为概率，请用有关知识解决下列问题．

病症及代号

普通病症

复诊病症

常见病症

疑难病症

特殊病症



人数

100

300

200

300

100



每人就诊时间（单位：分钟）

3

4

5

6

7



（1）用
表示某病人诊断所需时间，求
的数学期望．并以此估计专家一上午（按3小时计算）可诊断多少病人；

（2）某病人按序号排在第三号就诊，设他等待的时间为
，求
；

（3）求专家诊断完三个病人恰好用了一刻钟的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，
是圆
的直径，点
在圆
上，
，
交
于点
，

平面
，
，
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分13分）

已知函数
是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的
，都有:
，且
，又当
时，其导函数
恒成立。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）解关于x的不等式：
，其中

21．（本小题满分14分）

设函数
，函数
（其中
，e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设
，求证：
（其中e是自然对数的底数）．

棠湖中学外语实验学校高中2014届9月数学（理）

参考答案及评分意见

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

C

D

C

D

B

A

B

A



二、填空题：

11．2； 12．63； 13．
；14.
； 15．①②③ ；

三、解答题

16、解：（1）∵
，∴
，…………………………………………2分

∴
，即∴
．…………………………………………4分

∵A为△ABC的内角，∴0＜A＜π，∴
．…………………………………………6分

（Ⅱ）若a=1，
．由余弦定理b2+c2﹣a2=2bc?cosA得 c2=1，…………………………………………9分

所以
．…………………………………………12分

17.

19．解析：（法一）（Ⅰ）
平面

平面
，
．……………1分

又

，

平面

而
平面

． ……………………………………………………………………………3分

是圆
的直径，
．

又

，

．

平面

，
，

平面
．

与
都是等腰直角三角形．

．

，即
（也可由勾股定理证得）．………………………………5分

，
平面
．

而
平面
，

． ………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）延长
交
于
，连
，过
作
，连结
．

由（1）知
平面
，
平面
，

．

而
，
平面
．

平面
，

，

为平面
与平面
所成的

二面角的平面角． ……………………8分

在
中，

，
，

．

由
，得
．

．

又
，

，则
． ………………………………11分

是等腰直角三角形，
．

平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
．　 ………………………12分

（法二）（Ⅰ）同法一，得
． ………………………3分

如图，以
为坐标原点，垂直于
、
、
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得
，

． ………4分

由
，

得
，
． ……………6分

（Ⅱ）由（1）知
．

设平面
的法向量为
，

由
得
，

令
得
，
， …………………………9分

由已知
平面
，所以取面
的法向量为
，

设平面
与平面
所成的锐二面角为
，

则
， …………………………11分

平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
． ……………………12分

20．解：(1)由f(m·n)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……………………………………2分∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0…………………………………………3分∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2 ………………………………………………5分(2)

又当
时，其导函数
恒成立，∴
在区间
上为单调递增函数

∴
……8分

①当
时，
； ……9分

②当
时，
，∴
；……10分

③当
时，
，∴
……11分

综上所述：当
时，
；当
时，
；

当
时，
。 ……13分

21．解答 （Ⅰ）
，函数
，
，

当
时，
；当
时，
，故该函数在
上单调递增，在
上单调递减．

∴函数
在
处取得极大值
． 5分

（Ⅱ）由题
在
上恒成立，∵
，
，∴
，

若
，则
，若
，则
恒成立，则
．

不等式
恒成立等价于
在
上恒成立， 7分

令
，则
，

又令
，则
，∵
，
．

①当
时，
，则
在
上单调递减，∴
，

∴
在
上单减，∴
，即
在
上恒成立； 9分

②当
时，
．

ⅰ）若
，即
时，
，则
在
上单调递减，

∴
，∴
在
上单调递减，∴
，

此时
在
上恒成立 10分

ⅱ）若
，即
时，若
时，