2012—2013学年度第二学期

高三（理科）数学段考试题参考答案

18． 解：设事件
表示“该公司第种产品受欢迎”， =1,2,3，

由题意知
，
，
………………1分

（I）由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“
”是对立的，所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是
， …………3分

（II）由题意知
，

，整理得
且
，

由
，可得
. ………………………………7分

（III）由题意知

， ……9分

………10分

因此
…12分

可得，
…………………………………8分

设平面
的法向量为
，则
，

即
，取
，

则
， …………………………………10分

又
的法向量为
，

故
，

所以，二面角
的余弦值为
…………………………………12分

20．解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得
，

则所求椭圆方程
.　　……………………………………2分

（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线
的焦点为(1,0)，准线方程为
，则动圆圆心轨迹方程为
. ………………………………6分

令
，∵
则
, 则

因为
, 所以

所以四边形PMQN面积的最小值为8 ………………………………12分

（Ⅱ）
, …………………………………………6分

由函数
在区间
上单调递减可知：
对任意
恒成立…7分

当
时，
，显然
对任意
恒成立； …………8分

当
时，
等价于
，

因为
，不等式
等价于
, ……9分

令
，

则
，在
上显然有
恒成立，所以函数
在
单调

递增，所以
在
上的最小值为
， ……………………11分

由于
对任意
恒成立等价于
对任意
恒成立，

需且只需
，即
，解得
，因为
，

所以
．

综合上述，若函数
在区间
上单调递减，

则实数a的取值范围为：
． ………………………………………12分

四、（10分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由（Ⅰ）知

23．解：（Ⅰ）当
时，
的普通方程为
，
的普通方程为

联立方程组

解得
与
的交点为（1，0），（
） …………………5分

（Ⅱ）
的普通方程为

A点坐标为（
）

故当变化时，P点轨迹的参数方程为

. P点轨迹的普通方程为

故P点轨迹是圆心为（
），半径为
的圆。 ……………………10分