2013~2014年度高三调研考试

数学试卷参考答案

10．B　根据六合数的定义，首位数字为2，则第二位数字最大为4，此时对应的数字只有一个为2400；当第二位数字为3时，后面两位分别为1、0，共有两种数字对应，分别为2310或2301；当第二位数字为2时，后两位有2、0或1、1对应，因此有3种数字对应，分别为2220，2202，2211；当第二位数字为1时，后两位分别为3，0或2，1，共有四种数字与之对应，分别为2103，2130，2121，2112；当第二位数字为0时，后两位数分别为4、0或2、2，或1、3对应5种数字，分别为2040，2004，2022，2013，2031，因此六合数的个数为15个．

11．A　在双曲线中有a2＋b2＝c2，所以圆C2是以(0，0)为圆心，以c为半径的圆，由2∠PF1F2＝∠PF2F1结合图形易知|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝c，由双曲线的定义可得c－c＝2a，解得e＝＋1.

12．C　因方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有5个不同的实数解，故x＝2应是其中的一个根，又f(2)＝1，故1＋b＋c＝0?c＝－(b＋1)．于是有，f2(x)＋bf(x)－(1＋b)＝0?[ f (x)－1][ f (x)＋(1＋b)]＝0 ? [lg|x－2|－1][lg|x－2|＋(1＋b)]＝0 ? 四个根为－8，12，()1＋b＋2，－()1＋b＋2?f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝f(10)＝3lg 2，选C.

13.　由xdx＝x2＝a2＝1，解得a＝±，又因为a>0，所以a＝.

14．－1　根据不等式组画出可行域，当取点(2，0)时，x＋y取最小值2，即有zmin＝－1.

15．36π　由于正四棱锥的底边和侧棱长均为3，则此四棱锥底面正方形的外接圆即是外接球的一轴截面，故外接球半径长是3，则该正四棱锥的外接球的表面积为4π×32＝36π.

16．3×2n－4＋11　当N＝2n时，排列P4是将2n个数分成24段，每段有2n－4个数．排列P1的第1段数列的通项为x2n－1(1≤n≤2n－1)，排列P2的前两段数列的通项分别为x4n－3和x4n－1(1≤n≤2n－2)，排列P3的前四段数列的通项分别为x8n－7、x8n－3、x8n－5和x8n－1(1≤n≤2n－3)，排列P4的前八段数列的通项分别为x16n－15、x16n－7、x16n－11、x16n－3、x16n－13、x16n－5、x16n－9、x16n－1(1≤n≤2n－4)，∵173＝16×11－3，

∴x173是P4中第四段的第11个数，即x173位于P4中的第3×2n－4＋11个位置．

17．解：(1)∵m·n＝|m||n|·cos，|m|＝|n|＝1.

∴coscos＋sin(－sin)＝cos，

即cos C＝cos，

又∵C∈(0，π )，∴C＝.(6分)

(2)由c2＝a2＋b2－2abcos C，得a2＋b2－ab＝9，　①

由S△ABC＝absin C＝，得ab＝，②

由①②得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝9＋3ab＝25，∵a、b∈R＋，

∴a＋b＝5.(12分)

19．(1)证明：取PC的中点M，连结MF、ME.

∴MF∥DC，且MF＝DC，

又DC∥AE，∴MF∥AE.

又E是AB的中点，且AB＝DC，

∴MF＝AE，∴四边形AEMF是平行四边形．

∴AF∥EM.

又EM?平面PEC，AF?平面PEC.

∴AF∥平面PEC.(6分)

(2)解：以A为原点，如图建立直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)， D(0，1，0)，E(1，0，0)，F(0，，)，P(0，0，1)．

设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，＝(1，0，－1)，＝(1，1，0)．

则可得，令z＝－1，则m＝(－1，1，－1)．

故||的取值范围是[8，＋∞).(12分)

22．证明：(1)连结DE，

∵ACED为圆的内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，∴△BDE∽△BCA，即＝，而AB＝2AC，∴BE＝2DE.

又CD是∠ACB的平分线，∴AD＝DE，从而BE＝2AD.(5分)

(2)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t.

根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·2，∴(2－t)·2＝2t·2，解得t＝，即AD＝.(10分)

23．解：(1)曲线M可化为y＝x2－1，x∈[－，]，

曲线N可化为x＋y＝t，

若曲线M，N只有一个公共点，

则当直线N过点(，1)时满足要求，此时t＝＋1，

并且向左下方平行运动直到过点(－，1)之前总是保持只有一个公共点，

当直线N过点(－，1)时，此时t＝－＋1，

所以－＋1

再接着从过点(－，1)开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立得x2＋x－1－t＝0，

Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－，