2013～2014学年度第一学期第一次单元检测

高三数学(理)试卷

命题人：张开余 2013年10月

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

1、已知
,则

A．
B。
C．
D。以上都不对

2．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为(　　)．

A．e B．－e C. D．－

3、已知函数
，则
（ ）

A .0 B .3 C .1 D .

4、如果函数
的图象关于点A（1，2）对称，那么( )

A．p＝－2，n＝4 B．p＝2，n＝－4

C．p＝－2，n＝－4　 D．p＝2，n＝4

5、已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1

①
>
；②
<

③
>
； ④
<
.

.

A．①② B．①③

C．②④ D．②③

6、 知
且
，下列不等式正确的是

A.
B.

C.
D.

7、下列命题错误的是

A.命题“若
”的逆否命题为“若

”

B. “
”是“
”的充分不必要条件

C. 若
为假命题，则
均为假命题

D. 对于命题
则

8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)．

A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

9、设函数
的定义域为R,
是
的极大值点,以下结论一定正确的是 （　　）

A．
B．
是
的极小值点

C．
是
的极小值点 D．
是
的极小值点

10、函数
的图像如图所示,在区间
上可找到
个不同的数
使得
则
的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

11、设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是
，且
是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)

A．ln2 B．－ln2 C. D.

12、实系数一元二次方程
的两个实根为
，若有
，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本题共4小题，共16分

13.已知定义在R上的函数
的图象关于点
对称，且满足
，又
，
，则

14.已知函数f(x)的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝x＋m－lnx的保值区间是[2，＋∞)，则m的值为________．

15.已知
，则

16.非空集合
关于运算
满足：（1）对任意
，都有
；

（2）存在
，使得对一切
，都有
，则称
关于运算
为“融洽集”；现给出下列集合和运算：

①
；②

③
；

④
⑤
。

其中
关于运算
为“融洽集”的是____ _.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (13分)已知命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数x均成立．如果命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

18.(12分)已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0)．

(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．

19.(12分)函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有 f(x1·x2)＝f(x1) ＋f(x2)

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

20. 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.

(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；

(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．

21．(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小

22.设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

2013～2014学年度第一学期第一次单元检测

高三数学参考答案及评分标准

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

C

A

B

C

A

B

D

B

A

D



二：13：
14：

15：
16： ① ③ ④

17.　解　命题p为真命题等价于ax2－x＋a>0对任意实数x均成立．当a＝0时，－x>0，其解集不是R，∴a≠0.

于是有解得a>2，故命题p为真命题等价于a>2.------------------------4分命题q为真命题等价于a>＝＝对一切实数x均成立．

由于x>0，∴>1，＋1>2，

∴<1，从而命题q为真命题等价于a≥1.---------------------------------------8分

根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，

当p真q假时实数a不存在；

当p假q真时，实数a的取值范围是1≤a≤2.---------------------------------------------12分

18.解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x) ，函数是偶函数．----------------------2分

当a≠0时，f(x)＝x2＋ (x≠0)，

取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；

f(－1)－f(1)＝－2a≠0，(不举反例的扣2分)

∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．

∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．----------------------------------------------------6分

(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，

这时f(x)＝x2＋.

任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1

则f(x1)－f(x2)＝(x＋)－

＝(x1＋x2)(x1－x2)＋＝(x1－x2).

由于x1≥2，x2≥2，且x1

∴x1－x2<0，x1＋x2>，所以f(x1)

故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．（用导数证明的同样分）-----------------------12分

19.解　(1)令x1＝x2＝1，

有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0---------------------------------------------------------.2分

(2)f(x)为偶函数，证明如下----------------------------------------------------------------------4分

令x1＝x2＝－1，

有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．-----------------------------------------------------------6分

(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3-----------------------------------------------------------------------.8分

由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，

变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．-------------------------------------------10分

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.

解得－≤x<－或－

∴x的取值范围是{x|－≤x<－或－

20. 解　(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，

f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋)(x－2－)．

当x∈(－∞，2－)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－)上单调递增；

当x∈(2－，2＋)时，f′(x)<0，f(x)在(2－，2＋)上单调递减；

当x∈(2＋，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋，＋∞)上单调递增．-----------------4分

综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，

f(x)的单调减区间是(2－，2＋)．---------------------------------------------------------6分

(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．

当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；

当1－a2<0时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－，

x2＝a＋.--------------------------------------------------------------------------------------8分

由题意，知2

或2

①无解，②的解为

注：用一元二次方程根的分布同样的分

21．解　(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，

即n＝－1(0

所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x

＝256＋(2＋)x

＝＋m＋2m-256 (0

(2)由(1)知f′(x)＝－＋
，………………………………………………-----…7分

令f′(x)＝0，得
＝512，所以x＝64.

当00，

f(x)在区间(64,640)内为增函数，………………………………………………………(10分)

所以f(x)在x＝64处取得最小值，

此时，n＝－1＝－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y最小．……………--------------------------------------------------12分

22.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝1＋－＝.

令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.

①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．------------4分

②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．-------------------------------------------------------6分

③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x1＝，

x2＝.

当0＜x＜x1时，f′(x)＞0，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；

当x＞x2时，f′(x)＞0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．-----------------------------------------------------------------8分

(2)由(1)知，a＞2.

因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a·.---------------------------------------------------10分

又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a·.

若存在a，使得k＝2－a，则＝1.-------------------------------10分

即ln x1－ln x2＝x1－x2.

由x1x2＝1得x2－－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)

再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x2－－2ln x2＞1－－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．

故不存在a，使得k＝2－a.．------------------------------------------14分

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高三数学答题纸

命题人：张开余 2013年10月

注意事项：

⒈答题前，考生务必将本人班级、姓名、考号填写在相应位置．

⒉答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净．

⒊答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整、笔迹清晰．务必在题号所指示的答题区域内作答．

⒋保持答题纸清洁、完整．严禁在答题纸上作任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带．

题 号

二

三

卷Ⅱ总分







17

18

19

20

21

22





得 分



















阅卷人





















得分

评卷人











二、填空题（每小题4分）

13.

14.

15.

16.





得分

评卷人









三、17. （本小题满分12分）





得分

评卷人









三、18. （本小题满分12分）





得分

评卷人









三、19. （本小题满分12分）





得分

评卷人









三、20. （本小题满分12分）





得分

评卷人









三、21. （本小题满分13分）





得分

评卷人









三、22. （本小题满分13分）