2014届高三10月月考数学（文）试题

一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上)

1、设复数
，则
的共轭复数
（ ）D

A、
B、
C、
D、

2、设集合
，若
，则
（ ）C

A、
B、
C、
D、

3、某几何体的正视图与侧视图都是边长为的正方形，且体积为
，则该几何体的俯视图可以是（ ）B

A B C D

4、命题“函数
是偶函数”的否定可表示为（ ）A

A、
B、

C、
D、

5、设
，若
是
与
的等比中项，则
的最小值为（ ）B

A、
B、
C、 D、

6、已知函数
的

部分图像如图所示，则
的值依次为（ ）B

A、
B、

C、
D、

7、在
中，
，且
，点
满足：
，则

（ ）C

A、
B、
C、
D、

8、某企业要将刚生产的
台电视机送往某商场，现有甲型货车
辆，乙型货车
辆可供调配，每辆甲型货车费用是
元，可装电视机
台，每辆乙型货车费用是
元，可装电视机
台，若每辆车至多运一次，则企业所花最少运费为（ ）D

A、
元 B、
元 C、
元 D、
元

9、已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，不等式

恒成立。若
，

，则
的大小关系是（ ）A

A、
B、
C、
D、

10、将正整数从小到大排成一个数列，按以下规则删除一些项：先删除，再删除后面最邻近的
个连续偶数
，再删除
后面最邻近的
个连续奇数
，再删除
后面最邻近的
个连续偶数
，再删除
后面最邻近的
个连续奇数

，按此规则一直删除下去，将可得到一个新数列

，则这个新数列的第
项是（ ）A

A、
B、
C、
D、

二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）

11、已知
，则
________________。4

12、
。1

13、已知数列
是公差为
的等差数列，且
成等比数列，则
。3

14、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积是______。

15、已知定义在
上的函数
满足：
，且
，

，则方程
在区间
上所有的实根之和为______。

三．解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）

16、（12分）已知集合
。

（1）求
，
；

（2）若
，求
的取值范围。

解：（1）
，

（2）
则：①
时，
，
；②
时，
，综上，

17、（12分）已知
，且
。

（1）将
表示为
的函数
，并求
的单调递增区间；

（2）已知
分别是
的三个内角
对应的边长，若
，且
，
，求
的面积。

解：（1）

增区间为：

（2）
，

又

，

由

所以，

18、（12分）某几何体
的三视图和直观图如图所示。

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的余弦值。

解：（1）由三视图可知，在三棱柱
中，
底面
，
且
--------------------------------2分

以点
为原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图所示，由已知可得：
，
，

，
--------------4分

--------------6分

又

平面

（2）由（1）得
。

设平面
的法向量为
，则

即

令
，得平面
的一个法向量为
----------10分

由（1）知，
是平面
的一个法向量

故二面角
的余弦值为
。-----------12分

19、（12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

轿车A

轿车B

轿车C



舒适型

100

150

z



标准型

300

450

600



按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

（1）求
的值.

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,
,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以
,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为
.

(3)样本的平均数为
,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
.

20、（12分）已知数列
满足：
。

（1）求数列
的通项公式；（2）设数列
满足：
，求数列
的前
项和
；（3）求证：

解：（1）由
，可得
，又

则数列
为等比数列，

故
-----------------6分

（2）由（1）知

①

②

由①－②得：

（3）

21、（15分）已知函数
，其中常数
。

（1）若
在
处取得极值，求
的值；

（2）求
的单调递增区间；

（3）已知
表示
的导数，若
，且满足：

，试比较
与
的大小，并加以证明。

（提示：
）

解：（1）
，可得

又
在
处取得极值，故

且
，可得

经检验，
时，
在
处取得极值。故

（2）由（1）知，

①当
时，
，故
在
内单调递增；

②当
时，
，解得
或
。

所以
在
和
内单调递增

③当
时，
，解得
或
。

所以
在
和
内单调递增

（3）
。证明如下：

设
，且

则

因为
，有
且
，所以

故
，即