江苏省启东中学2013-2014学年度第一学期第一次质量检测(2013.10)

高 三 数 学 试 卷

命题：龚凯宏 审题：黄勤力

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应

位置上．

1.已知角
的终边上有一点(-1，2)，则
= ▲ ．

2.命题“

,
”的否定是 ▲ ．

3.函数
的定义域为 ▲ ．

设
,
,则
= ▲ ．

5.已知角θ的终边经过点P(－4cos α，3cos α)(<α<)，则sin θ＋cos θ＝ ▲ ．

6.已知函数
,则
▲ ．

7.已知幂函数
在
上为减函数，则
= ▲ ．

8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2013)＝ ▲ ．

9.已知函数
在
处取得极大值10，则
的值为 ▲ ．

10.已知函数
,若
互不相等，且
,则
的取值范围是 ▲ ．

13.已知函数
,在其图象上点(
，
)处的切线方程为
,则图象上点(-
，
)处的切线方程为 ▲ ．

14.函数
的定义域为D，若满足如下两条件：①
在D内是单调函数；② 存在
,使得
在
上的值域为
,那么就称函数
为“启中函数”，若函数
=
是“启中函数”，则
的取值范围是 ▲ ．

解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（本小题满分14分）命题p:实数
满足
（其中a>0），

命题q:实数
满足

(1)若a=1，且
为真，求实数
的取值范围；

(2)若
是

的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

16.（本小题满分14分）记函数
的定义域为集合
，函数
的定义域为集合
.

（1）求①
；②

（2）若
,
,求实数
的取值范围。

17.（本小题满分14分）已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．

(1)求
的值；(2)求tan(π－θ)－的值．

18.（本小题满分16分）已知函数
，其中

(1)判断
的奇偶性；

(2)对于函数
，当
时，
，求实数
的取值集合；

(3)当
时，
的值恒为负，求
的取值范围。

（本小题满分16分）已知一家公司生产某种产品的年固定成本为10万元，每生产1千件该产品需另投入2.7万元，设该公司一年内生产该产品
千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元,且
.

写出年利润W(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式；

年产量为多少千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获得的年利润最大？

（本小题满分16分）设函数
.

当
时,求
的极值；

当
时,求
的单调递减区间；

当
时,对任意正整数
,

在区间上总存在
个数
,

使得
成立，试问正整数
是否有最大值？若有请求出其最大值；否则，说明理由。

江苏省启东中学2014届高三第一次诊断性测试(2013.10)

数学试卷参考答案及评分标准

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应

位置上．

； 2.
； 3.
； 4.
； 5.

6.
； 7.-1； 8.3 ； 9.
； 10.(1，2014)；

11.
≤3或
=4； 12.
； 13.
； 14。

解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（本小题满分14分）命题p:实数
满足
（其中a>0），

命题q:实数
满足

【答案】解：（1）p真：1

q真：2

为真时2

（2）由（1）知p：
，则
：
或
，……8分

q：
，则
：
或
，……10分

是
的充分不必要条件，则
，且
，

∴
解得
，故实数a的取值范围是
．……14分

16.（本小题满分14分）记函数
的定义域为集合
，函数
的定义域为集合
.

（1）求①
；②

（2）若
,
,求实数
的取值范围。

解：(1)依题意，得
……2分

……4分

； ……5分

=
……7分

(2)

①当
时,
满足
； ……9分

②当
时，
,得
；

③当
时，
,
无解；

综上：
的取值范围是
。 ……14分

17.（本小题满分14分）已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．

(1)求
的值；(2)求tan(π－θ)－的值．

解析：　由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，

∴a≥4或a≤0.又……5分

∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a2－2a－1＝0.

∴a＝1－或a＝1＋(舍去)．∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.……8分

(1)
=-(sin θ＋cos θ)＝-1 ……12分

(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－

＝－＝－＝－＝－＝＋1. ……15分

18.（本小题满分16分）已知函数
，其中

(1)判断
的奇偶性；

(2)对于函数
，当
时，
，求实数
的取值集合；

(3)当
时，
的值恒为负，求
的取值范围。

解:(1)
是奇函数。 ……3分

（2）因函数
是奇函数、增函数。

……9分

（3）由（1）可知：当
时，
的值为负

且
……15分

（本小题满分16分）已知一家公司生产某种产品的年固定成本为10万元，每生产1千件该产品需另投入2.7万元，设该公司一年内生产该产品
千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元,且
.

写出年利润W(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式；

年产量为多少千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获得的年利润最大？

解：（Ⅰ）当
时，
， ………（3分）

当
时，
， ……………………（6分）

∴
………………………………………………（8分）

（Ⅱ）①当
时，由
，得
．

当
时，
；当
时，
，

∴当
时，W取得最大值，即
． ……（11分）

②当
时，
，

当且仅当
，即
时，W取得最大值38．……（14分）

综合①②知：当
时，W取得最大值为38.6万元，

故当年产量为9千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获的年利润最大． ……（16分）

（本小题满分16分）设函数
.

当
时,求
的极值；

当
时,求
的单调递减区间；

当
时,对任意正整数
,

在区间上总存在
个数
,使得
成立，试问正整数
是否有最大值？若有请求出其最大值；否则，说明理由。