桂林中学高三10月月考数学试题（理科）

本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．

考试时间：120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=R，集合
（ ）

A．{x|x<2} B．{x|x≤2} C．{x|－1

2．若复数
的实部与虚部相等，则实数
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．函数
的定义域为 （ ）

A．
B．

C．
D．

4.已知
，
，
，
，

则（ ）

A．
B．
C．
D．

5.设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）

A．2 B．
C．
D．

6．已知平面向量
，且
，则m的值为 ( )

A．1 B．-1 C．4 D．-4

7．过点（5，0）的椭圆
与双曲线
有共同的焦点，

则该椭圆的短轴长为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8、设
∶
∶
，则
是
的 （ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

9、定义在R上的函数
既是偶函数又是周期函数，若
的最小正周期是
，且当
时，
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．1 D．2

11．已知对任意实数
，有
，且
时，
，则
时（ ）

A．
B．

C．
D．

12．函数
的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式
的解集为 （ ）

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13、

_________.

14．若
，
，则
．

15．设
的反函数为
，若
，则
____

16．若函数
=
的图像关于直线
对称,则
的最大值

是______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本题10分）函数
在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足
，试
求的范围．

18. （本小题满分12分） 已知函数

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
的单调增区间；

（Ⅲ）若
，求
的值.

19．（本小题满分12分）已知等比数列
的公比为q，前n项的和为
，且
，
，
成等差数列．

　（1）求
的值；

　（2）求证：
，
，
成等差数列．

20. （本小题满分12分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度
（单位：千米/小时）是车流密度
（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当
时，车流速度
是车流密度
的一次函数．

（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式；

（Ⅱ）当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆 / 小时）

21.（本小题满分12分）已知双曲线
的两个焦点为

在曲线C上.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为
求直线l的方程

22. （本小题满分12分）已知函数
=
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：
（
）

桂林中学高三10月月考数学试题（理科）答案

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

D

C

D

D

B

A

D

C

B

A





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13、
14． 3 15． 2 16． 16

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题10分）函数
在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足
，试
求的范围．

解： 由题意，
，即
，… 2分

而又函数
为奇函数，所以
． …4分

又函数
在（-1，1）上是减函数，有

． …8分

所以，
的取值范围是
．…10分

18. （本小题满分12分）

已知函数
（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
的单调增区间；（Ⅲ）若
，求
的值.

解： 解：
1分

2分

―――3分

（Ⅰ）
的最小正周期为
；　　　　　　　 ―――4分

（Ⅱ）由
，
6分

得
，
　 7分

的单调增区间为
　　　　　―――8分

（Ⅲ）因为
，即
9分

11分

　　　 ―――12分

19．（本小题满分12分）已知等比数列
的公比为q，前n项的和为
，且
，
，
成等差数列．

　（1）求
的值；　（2）求证：
，
，
成等差数列．

解：（1）由
，
，
成等差数列，得
， 1分

　　若q＝1，则
，
， 3分

　　由
≠0　得　
，与题意不符，所以q≠1． 4分

　　由
，得
． 5分

　　整理，得
，由q≠0，1，得
． 8分

　　（2）由（1）知：
，
10分

，所以
，
，
成等差数列． 12分

20. （本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度
（单位：千米/小时）是车流密度
（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当
时，车流速度
是车流密度
的一次函数．

（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式；

（Ⅱ）当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

解：（Ⅰ）由题意：当
时，
；―――1分

当
时，设
，显然
在
是减函数，―――2分

由已知得
，解得
―――4分

故函数
的表达式为
=
―――6分

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

―――8分

当
时，
为增函数，故当
时，其最大值为
；―――9分

当
时，
，―――10分

当且仅当
，即
时，等号成立．

所以，当
时，
在区间
上取得最大值
．―――11分

综上，当
时，
在区间
上取得最大值
，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．12分

21、已知双曲线
的两个焦点为
在曲线C上.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为

求直线l的方程

(Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为
（0＜a2＜4＝，

将点（3，
）代入上式，得
.解得a2=18（舍去）或a2＝2，

故所求双曲线方程为
―――4分

解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.

2a=|PF1|－|PF2|=

∴a2=2，b2=c2－a2=2. ∴双曲线C的方程为
―――4分

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k2)x2－4kx－6=0.

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

∴

∴k∈(－
)∪(1,
). ―――6分

设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=
于是

|EF|=

=
―――8分

而原点O到直线l的距离d＝
,―――9分

∴SΔOEF=
―――10分

若SΔOEF＝
，即
解得k=±
,

满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=
和
―――12分

解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ①

∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈(－
)∪(1,
). ②

设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得

|x1－x2|＝
. ③

当E、F在同一支上时（如图1所示），

SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=
；

当E、F在不同支上时（如图2所示），

SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝

综上得SΔOEF＝
，于是

由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝
.

若SΔOEF＝2
，即
,解得k=±
,满足②.

故满足条件的直线l有两条，基方程分别为y=
和y=

22. （本小题满分12分）

已知函数
=
.（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：
（
）

（Ⅰ）解：函数