理科数学试题（二）命题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

4．解：由平行的充要条件得×－（1+sin(）（1-cos(）＝0，得sin(-cos(-sin(cos(+
＝0，设t=sin(-cos(, 则2sin(cos(=1-t2，代入解得t=0或-2，而t∈
，故t=-2不合，t=sin(-cos(=0，(＝45(.或用代入验证法.

答案：B.

设计思路：主要考查三角函数与平面向量。中档题。

5. 解：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。

又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。

在△ABC中，由余弦定理得：cosA=
=
=
，∴∠A=60°。

由正弦定理得sinB=
，∵b2=ac，∠A=60°，

∴
.

答案：C.

设计思路：主要考查解三角形中的余弦定理，正弦定理。中档题。

6. 解：

答案：C.

设计思路：主要考查对数与三角恒等变形，中高档题。

7. 解：设公差为d,

答案：A.

设计思路：主要考查等差数列与等比数列的计算，中档题。

8.解析：设数列的首项为，等差数列
的公差为
,

代入（1）的
，故选
。

答案
.

设计思路：主要考查数列的性质及其运算，中档题。

9. 解：设
，则
，

则
，选D。

答案：D.

设计思路：主要考查三角函数概念以及求值。中高档题。

10. 解：设直线方程为
，代入抛物线方程得
，

设
，则

，用韦达定理代入得
，故

（
），故数列
的前项和
。

答案：D.

设计思路：主要考查数列及其综合应用，难题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应横线上.

11．解：由
得=2.
由图像可知单调递减区间为
。

答案：
.（注：写成闭区间不扣分）

设计思路：主要考查函数图像与性质。考查作图，观察等能力。容易题。

12. 解：前11行共有
个数，因此第12行的从左至右的第4个数是全体正数中的第66+4=70个，第70个正数是3×70-2=208.

答案：208.

设计思路：主要考查数阵中的数列及其求和，考查观察，计算等综合能力。中档题。

13.解：

，
，

，∴
，
，

则

=

=
.

答案：
.

设计思路：主要考查三角函数求值，考查综合应用知识能力。中高档题。

14. 解：设u=sinα+cosβ.则u2+(
)2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t=
,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤
.x=
.

答案：
.

设计思路：主要考查函数与三角的综合应用，考查综合应用知识能力，难题。

设计思路：主要考查导数与数列的综合应用，难题。

三．解答题：

16.解：（Ⅰ）
；……6分

（II）
，
, <
>=


,……8分

。…12分

设计思路：主要考查平面向量基本知识及其运算。容易题。

17.解：（Ⅰ）∵
,

∴函数
的周期
. ………………3分

将函数
的图像依次进行下列变换：把函数
的图像向左平移
，得到函数
的图像；把函数
的图像上各点纵坐标伸长到原来的
倍（横坐标不变），得到函数
即
的图像；………………6分

（II）
,

|
|=

=
=
∈［
,
］，

|
-
|的范围是［
,
］。………………12分

设计思路：主要考查平面向量与三角函数的性质，图像，考查综合应用知识能力，中档题。

18．解：（Ⅰ）
=(sin2x,2cosx)·

＝
sin2 x +2cos2 x 1=
sin2x+cos2x=2sin（2x＋
），………………2分

由已知
，

∴0

∴ 函数f(B)的值域为［1,2］．………………6分

（II）f(
)=2sin（
＋
）=
，

∴sin（
＋
）＝
.………………………………………………………………………8分

∴
＋
＝
或
＋
＝
，

∴ A＝
或
（舍去）………………………………………………10分

由
，知
，三边a，b，c依次成等差数列，所以

，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2-2, 得
。……………12分

设计思路：主要考查平面向量与三角函数，数列和解三角形综合应用，考查综合应用知识能力，中档题。

19. 解：（Ⅰ）
,其极值点为
，………………2分

它在
内的全部极值点构成以
为首项，
为公差的等差数列，…………4分

.…………………………………………………………6分

（II）
。……………………………………………8分

，

，

相减，得
。

。…………………………………………………12分

设计思路：主要考查三角函数，数列求和等知识，中档题。

20. 解：（Ⅰ） 函数
的定义域是(-1,+∞)……………………1分

当a=2时，
，

所以函数f (x)的极小值为
；无极大值；

（II）
定义域(-1,+∞)…………………………5分

①当-a-1≤-1即a≥0时，由

，得f(x)的增区间为(0,+∞)；由
<0，得f(x)的减区间为(-1，0).……………6分

②当-1<-a-1≤0即-1≤a<0时，由

，得f(x)的增区间为(-1, -a-1)和(0,+∞)；由
<0，得f(x)的减区间为(-a-1，0)。.……………7分

③当-a-1>0即a<-1时，由

，得f(x)的增区间为(-1, 0)和(-a-1,+∞)；由
<0，得f(x)的减区间为(0，-a-1). …………………8分

综上，a≥0时，f(x)的增区间为(0,+∞)，减区间为(-1，0)；

-1≤a<0时，f(x)的增区间为(-1, -a-1)和(0,+∞)，减区间为(-a-1，0)；

a<-1时，f(x)的增区间为(-1, 0)和(-a-1,+∞)，减区间为(0，-a-1). …………………9分

(Ⅲ) a<-1时，由（II）知f(x)在[0,+∞)的极小值为
，而极大值为f(0)=0 ；

由题意，函数y=f (x)的图象与
在[0,+ ∞)上有唯一的公共点，

所以，
或
> f(0)，结合a<-1，

解得
；或a<-e.…………………………13分

设计思路：考查函数与导数的综合运用，考查综合应用知识的能力，属难题。

21（I）证明：

………5分

数列
的前n项和

…………………10分

时，数列
的前n项和
=

因为当
时,
<0,
.…………………14分

设计思路：主要考查数列的综合运用，考查综合应用知识的能力，属难题。