江苏省扬州中学2013—2014学年度第一学期月考

高 三 数 学 试 卷 2013.10

一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.已知全集
集合
则
__▲___.

2. 已知向量
,
,若
,则实数
__▲____.

3.命题“
”的否定是＿＿▲＿＿＿[来源:学科网]

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

7. 将函数
的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象上的所有点沿x轴向左平移
个单位，这样得到的曲线和函数
的图象相同，则函数
的解析式为 ▲ ．

8. 已知函数
若实数m
，则函数
有▲个零点.

9. ?设
是定义在

上的偶函数,当
时,
(
为自然对数的底数),则
的值为 ▲ .

10. 若函数
的图象关于点（1，1）对称，则实数
= ▲ ．

11.已知
则
▲ ．

12. 若
且
则
的取值范围为 ▲

13. 已知函数
，
，
，
成立，则实数
的取值范围是 ▲

14. 已知O为△ABC的外心，
若
，则
的最小值为　▲　　 ．

二、解答题（共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. （14分）已知全集

（1）求A、B；

（2）求

16. （14分）已知向量

（I）求
的最小正周期与单调递减区间。（II）在△ABC中，a、b、c、分别是角A、B、C的对边，若
△ABC的面积为
，求
的值。

18. （16分）某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和
RP为两个底边），已知
其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．

附加题（理科）

22. 写出
的二项展开式（
为虚数单位），并计算
的值。

23. 在正方体
中，O是AC的中点，E是线段D1
O上一点，且D1E＝λEO.

（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；

（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.

24. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．

（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望．

命题：高三数学备课组

高三数学月考参考答案 2013.10

1.
2.
3.
4.
5.充要 6. 10

7.
或
8. 3 9.

10. 1 11.

12.
13.
14
.；2

15. 解：（1）由已知得：

解得
由
得：

（2）由（I）可得
故

（II）由
得
，

17. 解：（1）由
求导可得：

令
，可得
，∵
，∴
，∴

又因为











+

0

—





单调递增

极大值

单调递减



 所以，
有极值 所以，实数
的取值范围为
．

（2）由（Ⅰ）可知
的极大值为

又∵
，

由
，解得
又∵

∴当
时，函数
的值域为

当
时，函数
的值域为
．

18. 解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，则
，

由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为
，由
得，
，

∴AF所在抛物线的方程为
，又
，∴EC所在直线的方程为
，设
，则
，

∴
工业园区的面积

，

∴
令
得
或
（舍去负值），

当
变化时，
和
的变化情况如下表：

x











+

0

-





↑

极大值

↓



由表格可知，当
时，
取得最大值
．答：该高科技工业园区的最大面积
．

19. 解：（1）由题设：
，
，
，

椭圆
的方程为：

（2）①由（1）知：
，设
，

则圆
的方程：
， 直线
的方程：
，

，
，

，

圆
的方程：
或

②解法（一）
：设
，

由①知：
，即：
，

消去
得：
=2，
点
在定圆
=2上．

解法（二）：设
，则直线FP的斜率为
，

∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为
，

∴直线OM的方程为：
，

点M的坐标为
． ∵MP⊥OP，∴
,

∴
，∴
=2,
点
在定圆
=2上．

20. 解: (Ⅰ)当
时,
.

因为当
时,
,
,

且
,

所以当
时,
,且

由于
,所以
,又
,[来源:Zxxk.Com]

故所求切线方程为
,

即

(Ⅱ) 因为
,所以
,则

当
时,因为
,
,[来源:Z|xx|k.Com]

所以由
,解得
,

从而当
时,

当
时,因为
,
,

所以由
,解得
,

从而当
时,

当
时,因为
,

从而
一定不成立

综上得,当且仅当
时,
,

故

从而当
时,
取得最大值为

(Ⅲ)“当

时,
”等价于“
对
恒成立”,即“
(*)对
恒成立”

当
时,
,则当
时,
,则(*)可化为

,即
,而当
时,
,

所以
,从而
适合题意

当
时,
.

当
时,(*)可化为
,即
,而
,

所以
,此时要求

当
时,(*)可化为
,

所以
,此时只要求

(3)当
时,(*)可化为
,即
,而
,

所以
,此时要求
，由⑴⑵⑶,得
符合题意要求.

综合①②知,满足题意的
存在,且
的取值范围是

[来源:Z。xx。k.Com]

高三数学月考试卷附加题（理科）

22.

因为
的展开式中的虚部，又
，所以

23.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
．

则A(1，0，0)
，
，
，D1(0，0，1)，E
，

于是
，
.由cos
＝
＝
.

所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为
.

（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，
z1)，由m·
＝0，m
·
＝0

得
取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) . ……7分

由D1E＝λEO，则E
，
=
.

又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·
＝0，n·
＝0.

得
取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .

因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．

24.（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知

（2）ξ可取1，2，3，4．
，

； 故ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4



P













答：ξ的数学期望为