安徽省合肥168中学2014届高三最后一卷 理科数学试题（WORD版）

本试卷分第 I 卷 (选择题)和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟

第 I 卷 (选择题共50分 )

一、选择题(每小题5分,共50分，每小题只有一个选项是符合题目要求的)

1.已知集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2. 设集合A={x|
},B={x|0＜x＜3},那么“mA”是“mB”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3．设函数
Ｒ）满足
，则的值是( )

A．3 B.2 C.1 　 D.0

4. 执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填（ ）

A. i < 5 B. i <6 C. i < 7 D. i < 8

5.设
则二项式
的展开式中的系数为（ ）

A． B．
C．
D．

6.已知各项为正数的等差数列
的前20项和为100，那么
的最大值为

A.25 B.50 C.100 D.不存在

7．已知实数,满足条件
则
的最大值为( )

A. 0 B.
C.
D. 1

8. 已知双曲线
的左顶点为
，右焦点为
，为双曲线右支上一点，则
最小值为 （ ）

A．
B.
C. D.

9.设i=(1,0)，j=(0,1)，若向量a满足|a－2i|+|a－j|=
，则|a+2j|的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.如图，在三棱锥
中,
两两互相垂直，且
,设
是底面三角形
内一动点，定义：
，其中
分别表示三棱锥
的体积，若
，且
恒成立，则正实数的最小值是（ ）

A .
B .

C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在横线上）

11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．

12.已知函数
，若方程

至少有一个实根，则实数
的取值范围 ．

13.已知函数

,且
，则
通项公式为 ．

14.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心， AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量
．

15. 已知函数
．若存在实数，，使得
的解集恰为
，则的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共有6个小题，共计75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本题满分12分）

已知函数
的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点。

(Ⅰ) 求函数
的解析式；

(Ⅱ) 已知
,且
，求

17．（本题满分12分）

如图，斜三棱柱
，已知侧面
与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠
，
=2，若二面角
为30°，

（Ⅰ）证明:
及求
与平面
所成角的正切值；

（Ⅱ）在平面
内找一点P，使三棱锥
为正三棱锥，并求此时
的值。

18. （本题满分12分）

在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽N个人的血，可以用两种方法进行.(1)将每个人的血分别去验，这就需N次.(2)按k个人一组进行分组，把从k个人抽出来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血液都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次.若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验.这样，这k个人的血总共要化验k+1次.假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的.

(Ⅰ)设以k个人为一组时，记这k个人总的化验次数为X，求X的分布列与数学期望；

(Ⅱ)设以k个人为一组，从每个人平均需化验的次数的角度说明，若
，选择适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数，并说明k取什么值时最适宜。(取
)

19. （本题满分13分）

如图，
是抛物线为
上的一点，以S为圆心，r为半径（
）做圆，分别交x轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点。

(Ⅰ)求证：直线CD的斜率为定值；

(Ⅱ)延长DC交x轴负半轴于点E，若EC : ED = 1 : 3，求
的值。

20. （本题满分13分）

已知函数
在
处的切线方程为
.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）试证明：

21. （本题满分13分）

若函数
定义域为,取
并且
，则称
是
的迭代数列。已知
，
均是
的迭代数列，

。

（Ⅰ）对任意
且
，求证：

（Ⅱ）求证：

（Ⅲ）求证：存在唯一实数满足

合肥一六八中学2014届高三最后一卷

数学试题 (理科)答案

选择题

1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 6、A 7、B 8、A 9、 D 10、C

二、填空题

11、
12、
13、
14、
15、

16、答案：（1）
……………6分

（2）
…………12分

17、解：（Ⅰ）面
面
，因为面
面
＝
，
，

所以
面
．易得
……………3分

取
中点，连接
，在
中，

是正三角形，
，又
面
且
面
，

，即
即为二面角
的平面角为30°，
面
，
，在
　中，
，取
中点D，连接
，
即
与面
所成的线面角，
……………8分

（Ⅱ）在
上取点
，使
，则因为
是
的中线，
是
的重心，在
中，过
作
//
交
于，
面
，
//

面
，即点在平面
上的射影是
的中心，该点即为所求，

且
，
．
=2 ……………12分

18、解：

(1)

X

1





P








……………6分

(2)即
小于1且取得最小值时，就能得到最好的分组方法。

单调递增，且
，

且
，所以
最适宜 ……………12分

19、解（1）将点（1，1）代入
，得
抛物线方程为

设
，
与抛物线方程
联立得：



由题意有
，

……………6分

（2）设

同理

∴
，
， 因此：
……………13分

20、解：（Ⅰ）

直线
的斜率为2，且过点

……………4分

（Ⅱ）当
时，

由

在
上恒成立，

取
，则

再取

故
在
上单调递增，

而
，

故
在
上存在唯一实数根
，

故
时，
时，

故
……………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令
则
，又

即：
……………13分

21、一.证明（1）

又

（注：此题也可构造函数判断单调性解决） ……………4分

（2） 由第（1）题结论知：

对任意正整数
成立，

……………8分

（3）记
，易知
，

存在零点

即
，由第（1）题结论知：

对任意正整数
成立，

假设还存在另一个实数
满足

对任意正整数成立，
即
这与
相矛盾！ 合题意的实数存在且唯一。 ……………13分

2014.5