2014—2015学年度第一学期高三期末考研考试

数学试题（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、若复数
，则
（ ）

A．
B．
C．1 D．2

2、若集合
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3、已知函数
的最小正周期为
，则
（ ）

A．1 B．
C．-1 D．

4、在区间
内随机取出一个实数
，则
的概率为（ ）

A．0.5 B．0.3

C．0.2 D．0.1

5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）

A．2014

B．2013

C．1008

D．1007

6、已知实数
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）

A．2 B．0

C．-10 D．-1 5

7、如图
为互相垂直的两个单位向量，则
（ ）

A．20 B．

C．
D．

8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下

一个半径为
，深
的空穴，则取出该球前，球面上

的点到冰面的最大距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、设
是等差数列
的前n项和，且
成等比数列，则
等于（ ）

A．1 B．1或2 C．1或3 D．3

10、已知函数
，则它们的图象可能是（ ）

11、已知
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

12、在
中，内角
所对的边分别为
，且
边上的高为
，则
取得最大值时，内角
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

13、已知
，则二项式
的展开式中
的系数为

14、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的

表面积为

15、直线过椭圆
的左焦点
，且与椭圆

交于
两点，
为弦
的中点，
为原点，若

是以线段
为底边的等腰三角形，则直线的斜率为

16、设互不相等的平面向量组
，满足：①
；②
，

若
，则
的取值集合为

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

在
中，内角
所对的边分别为
，且
。

（1）求
；

（2）若
，求
的周长的最大值。

18、（本小题满分12分）

已知等差数列
的前
项和为
，
为等比数列，且
，
。

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）求数列
的前n项和
。

19、（本小题满分12分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如下：

规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。

（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；

（2）从乙厂抽出上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数
的分布列及数学期望。

20、（本小题满分12分）

在三棱锥
中，
。

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值的绝对值。

21、（本小题满分13分）

已知：过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两个不同的点，过
分别作抛物线的切线，且二者相交于点

（1）求证：
；

（2）求
的面积的最小值。

22、（本小题满分13分）

已知函数

（1）若直线过点
，并且与曲线
相切，求直线的方程；

（2）设函数
在
上有且只有一个零点，求
的取值范围。

（其中
为自然对数的底数）

2015年保定市高三调研考试理科答案

一.选择题：CBADD BCBCB AD

二.填空题：13．40． 14.
15.
16.

17、解：（1） 因为
…………2分

………………………………………………………4分

（2）由（1）知，

由
,得
，……………7分

所以

所以
，

所以
周长的最大值为21……………………………………10分

18．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由题意可得：
………………3分

解得q=2或q=
(舍)，d=2．

∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1，
……………………6分

数列{bn}的通项公式是
．
……………………7分

（2）Tn=

∴2Tn=
……………………9分

∴-Tn=

∴Tn=
，
…………………………………………12分

19解：（1）甲厂平均值为
…2分

乙厂平均值为
…………4分

所以甲厂平均值大于乙厂平均值………………………………5分

（2）
的取值为0，1，2，3. ………………………………6分

………………………………10分

所以的分布列为

 0

 1

 2

 3















 故
………………12分

20.解：（1）设
为
中点，连结
，

，
,

⊥
，
. -----------------2分

同理,
⊥
，

∴
⊥平面

所以
⊥
--------------------5分

（2）如图,建立空间直角坐标系
.其中AB∥x轴

易得
,又

则
，A
,
，
， ------7分

，
.

设平面
的法向量为
，

则
.

平面
的一个法向量
. --------9分

,

同理可求得平面CBP的一个法向量为

.-----------------12分

21. （1）证明：设LAB：
,代入
得

……………………2分

所以
……………………………………………6分

②若k=0，显然
…………………………………7分

（或

…………………………7分）

（2）解由（1）知，点C到AB的距离
…………………8分

22. 解：（1）设切点坐标为
，则
切线的斜率为

所以切线的方程为
………………2分

又切线过点（1，0），所以有

即
解得

所以直线的方程为
…………………………………………4分

（或：设
，则

单增，
单减

有唯一解，

所以直线的方程为
…………………………………………4分）

(2）因为
，注意到g（1）=0

所以，所求问题等价于函数
在
上没有零点.

因为

所以由
＜0
＜0
0＜
＜
＞0
＞

所以
在
上单调递减，在
上单调递增.……………6分

①当
即
时，
在
上单调递增，所以
>

此时函数g（x）在
上没有零点………………………………7分

②当1＜
＜e，即1＜a＜2时，
在
上单调递减，在
上单调递增.

又因为g（1）=0,g(e)=e-ae+a，
在
上的最小值为

所以，（i）当1＜a

时，
在
上的最大值g(e)
0，即此时函数g（x）在
上有零点。………………………………8分

（ii）当
＜a＜2时， g(e) ＜0，即此时函数g（x）在
上没有零点.…10分

③当
即
时，
在
上单调递减，所以
在
上满足
＜
此时函数g（x）在
上没有零点

综上，所求的a的取值范围是
或
＜a………………………………………12分

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