高三年级第一学期第六次月考

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每
小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

１.已知集合

则
为

（
A）
　　（B）
　　（C）
　 （D）

2.在复平面内与复数
所对应的点关于实轴对称的点为
，则
对应的复数为

（A）
　　　（B）
　　　（C）
　　　（D）

3.设等比数列
的前
项和为
，满足
，且
，则

（A）31 （B）36 (C)42 (D)48

4.函数
的零点所在的区间是

(A)
(B)
(C)
(D)

5.已知命题
:函数
的
最小正周期为
；命题
：若函数
为偶函数，则
关于
对称.则下列命题是真命题的是

(A)
(B)
(C)
(D)

一次实验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为
粒，其中
粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率
为

(A)
(B)
(C)
(D)

7.已知曲线
的两条相邻的对称轴之间的距离为
，且曲线关于点
成中心对称，若
，则

(A)

(B)
(C)
(D)

8.已知
是双曲线
的右焦点,点
分别在其两条渐近线上，且满足
，
（
为坐标原点），则该双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

9.执行如图所示的程序框图，则输出结果
的值为

（A）

（B）
（C）
（D）

已知实数
满足
，若目标函数
的最大值为
，最小值为
，则实数
的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

四面体
的四个顶点都在球


的表面上，
平面
，△
是边长为3的等边三角形.若
，则球
的表
面积为

(A)
(B)
(C)
(D)

12.已知函数
与
，若
与
的交点在直线
的两侧，则实数
的取值范围是

(A)
(B)
　　 (C)
　　 (D)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

如图，某几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为__________.

14.已知函数
的导函数为
，且
，则
的最小值为_____.

15．在
中，点
在线段
的延长线上，且
，点
在线段
上（与点
不重合）若
，则
的取值范围是____________.

16.已知抛物线
的焦点为
，△

的顶点都在抛物线上，且满足

，则
_______.

三、解答题（
本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

设数列
的各项均为正数，它的前
项的和为
，点
在函数
的图象上；数列
满足

，其中
．

（Ⅰ）求
数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项的和
．

1
8.（本小题满分12分）

已知向量
，函数
的图象与直线
的相邻两个交点之间的距离为
．

（1）求函数
在
上的单调递增区间；

（2）将函数
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象．若
在
上至少含有
个零点，求
的最小值．

19.（本小题满分12分）

今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁.私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力.为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）

[15，25)

[25，35)

[35，45)

[45，55)

[55，65)

[65，75]



频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

6

9

6

3

4



（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；

（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

20.
（本小题满分12分）

如图，在四棱
锥
中，
，

，
，
，
分别为
的中点，
.

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）设
，若平面
与平面
所成锐二面角
，求
的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为
的正方形（记为
）.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设点
是直线
与
轴的交点
，过点
的直线
与椭圆
相交于
两点，当线段
的中点落在正方形
内（包括边界）时，求直线
斜率的取值范围.

22.(本题满分12分)

设
是函数
的一个极值点.

（Ⅰ）求
与
的关系式（用
表
示
），并求
的单调区间；

（Ⅱ）设
，若存在
，使得
成立，求实数
的取值范
围.

河北正定中学第六次月考理科数学答案

一、选择题 BBABB DCACA CB

二、填空题 13.8 14.
15.
16.0

三、解答题

17.⑴由已知条件得
， ①

当
时，
， ②

①－②得：
，

即
，

∵数列
的各项均为正数，∴
（
），

又
，∴
；∵
，

∴
，∴
；

⑵∵
，

∴
，

，

两式相减得
，

∴

18.

19.

（Ⅱ）
的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分

所以
的分布列是：























所
以
的
数学期望
．

20. (Ⅰ)


，
分别为
的中点，

为矩形，
················· 2分

,又

面
,
面
,

平面
⊥平面
·
···················· 4分

(Ⅱ)
,又
，

又
,所以
面
,
······
············6分

建系
为
轴，
为
轴，
为
轴,

，
,

平面
法向量
，平面
法向量
··········9分

，可得
. ·············12

21. 解: （Ⅰ
）依题意，设椭圆C的方程为=1(a>b>0),焦距为2c，

由题设条件知，a2=8,b=c, 所以b2=
a2=4

故椭圆C的方程为
=1 (4分)

（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x=-4,所以点P的坐标为（-4,0），

显然直线l的斜率k存在，所以直线的方程为y=k(x+4)。

如图，设点M，N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的

中点为G(x0,y0)，

由

得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0 ① （6分）

由?=(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)>0

解得

因为x1,x2是方程①的两根，所以x1+x2=-
，

于是x0=
=
,y0=k(x0+4)=
（8分）

∵x0=
≤0，所以点G不可能在y轴的右边. （9分）

又直线F1B2,F1B1方程分别为y=x+2,y=-x-2

所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

即
（10分）

解得
≤k≤
，此时②也成立．

故直线l斜率的取值范围是[
,
]. (1
2分)

22．解：（Ⅰ）∵

∴

1分

由题意得：
，即

，
2分

∴
且

令
得
，

∵
是函数
的一个极值点

∴
，即

故
与
的关系式
4
分

（1）当
时，
，由
得单增区间为：
；

由
得单减区间为：
、
；

（2）当
时，
，由
得单增
区间为：
；

由
得单减区间为：

、
； 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，

在
上的值域是
9分